Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
tik ClCl і і Cljlm tlm' (4.96)
Из этого определения получаем следующие следствия. Сумма двух псев-дотензоров одинакового ранга является псевдотензором того же ранга. Прямое произведение псевдотензора и тензора — псевдотензор с рангом, равным сумме рангов сомножителей. Прямое произведение двух псевдотензоров — есть тензор. Операция свертки применима и к псевдотензору ранга п, в результате чего получается псевдотензор ранга п — 2.
§ 4.11. Символ Леви-Чивита
Символ Кронекера — тензор с одинаковыми компонентами в любой системе координат. Символ Леви-Чивита является псевдотензором с теми же свойствами. В четырехмерном пространстве этот псевдотензор имеет ранг 4. Символ
87
Леви-Чивита определяется как величина еі]і1т-антисимметричная по всем четырем индексам. Поэтому из всех компонент не равны нулю лишь компоненты, у которых все индексы различны. Эти компоненты равны+1 или—1, в зависимости от того, отличается ли система индексов (г, k, I, т) от (1, 2, 3, 4) четным или нечетным числом перестановок соответственно. Теперь рассмотрим псевдотензор С компонентами tiklm В системе S. При переходе к другой системе S' имеем
Поскольку свойства симметрии инвариантны, elkim также антисимметричны по всем индексам. Поэтому достаточно вычислить компоненту с (i, k, I, т) —
для всех значений индексов (с, k, I, т).
Таким образом, символ Леви-Чивита является псевдотензором, имеющим одни и те же компоненты в любой координатной системе.
В трехмерном пространстве символ Леви-Чивита представляется величиной Ецл’Х» антисимметричной по всем трем индексам, причем е123 = 1. Как и раньше, можно показать, что — трехмерный псевдотензор.
С помощью символа Леви-Чивита можно связать антисимметрический
3-тензор Hliv с псевдовектором (аксиальным вектором) Н:
Величины Яд (4.83) являются компонентами аксиального вектора, дуального тензору Htiv. Если Hliv имеет вид
является векторным произведением, f — aXb. Этот тензор, или его дуальный аксиальный вектор, определяют параллелограмм, образованный векторами а и Ь; компоненты такого дуального вектора равны проекциям этого параллелограмма на три координатные плоскости. Площадь параллелограмма определяется выражением
Псевдотензор /ц перпендикулярен плоскости параллелограмма, так как
Siklm aIq ^mr ^nPqf
(4.97)
(4.98)
(4.99)
§ 4.1?. Дуальные тензоры
= (1/2) ?^гЯУь
(4.100)
т. е.
H = (H1, H2, H3) = (H23, H31, H12).
(4.101)
av Ov
где Яд, и bv — два вектора, то соответствующий аксиальный вектор
Zn ~
(4.102)
(4.103)
(4.104)
/д, — ‘-V — 0, /д bц — о
вследствие антисимметричности символа Леви-Чивита.
(4.105)
Аналогично вектор, дуальный тензору
= SavJdxll -OallIdxv,
т. е. ротору, является аксиальным вектором.
Три вектора а, Ь, с определяют параллелепипед, который по аналогии с (4.102) представляется антисимметрическим тензором:
йм СM
av bv cv . (4.106)
b\ Cx
С помощью символа Леви-Чивита этому тензору можно поставить в соответствие псевдотензор нулевого ранга, т. е. псевдоинвариант
aL bx C1
V — {1 /3!) Ejxv?!. = ?|xv?>, с?. — Q2 Ь.2 С-2 • (4.107)
а3 Ь3 с3
V определяет объем параллелепипеда. Он не изменяется при собственных вращениях, но меняет знак при отражениях. Кроме того,
V2 = (1/3!) Vfivk (4.108)
Если а, Ь, с — три инфинитезимальных вектора, расположенные вдоль осей хи хг> хз соответственно, например
a = ((Ixl, 0, 0); b = (0, йхг, 0); с = (0, 0, dx3), (4.109)
то соответствующий объем равен
dV = dx{dx2dx з (4.110)
и является псевдоскаляром.
В (3 + 1)~пространстве с помощью символа Леви-Чивита EikIm антисим-метрпческий тензор ранга и^4 можно связать с псевдотензором ранга 4 — п. Следовательно, псевдотензор F*k, дуальный антисимметрическому тензору Fih, определяется выражением
F!k=(l/2i) EtuimFlm,
т. е.
Fh = (Ui)Fli; Fll = (IH)Fu-, Ftl2 = (Ui) F3i; Ftli = (IIi)F23-, Fli = (Hi)Fn; FJ4 = (1/i) F12.
(4.111)
(4.112)
Вводя величины E и H по формулам (4.83), (4.83'), видим, что дуальный
псевдотензор Fik получается из Fik подстановкой E Н, H -v —Е. Уравнения
(4.84) и (4.84') не меняются при такой подстановке, поскольку для преобразований Лоренца без вращений a = I, a /?. преобразуется как Fih.
Тензор Gik частного вида
(4.113)
где аг и Ьк — два вектора, определяет по аналогии с (4.102) двухмерный параллелограмм, построенный на векторах at, bt. Дуальный псевдотензор
Ofk = (1/0 sIklrn аг Ьт
ортогонален векторам Cii, bh и тензору Gih'.
Gik ak = G*k bk = otk Gik = о. (4.114)
Аналогично (4.104) площадь а параллелограмма равна
= (4.115)
89
Антисимметрическому тензору третьего ранга можно поставить в соответствие дуальный псевдотензор первого ранга, т. е. псевдовектор. Для тензора
(4.116)
Cii bi Ci Cil bi C1
где Cii, bit Ci — независимые 4-векторы, дуальный псевдовектор имеет вид
Xi = (І/ІЗ!) eihlm Hhlm = (Ifi) гШт ak Ьг ст (4.117)
или
S4 = (l/i) Sftljn, (4.118)
где (iklm) — четная перестановка из (1, 2, 3, 4). Zihi и 2, определяют трехмерный параллелепипед, образованный векторами аи bi, C1. 2, ортогонален этому параллелепипеду, так как из (4.117) следует
