Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
p' = m'u', (3.3)
где
т’ = tn' (u') = f (и) (3.4)
есть та же функция от и, что и т от и. Это следует из принципа относительности, по которому все инерциальные системы совершенно равноправны, так что любое соотношение между физическими величинами должно быть форм-инвариантным.
Наша первая задача — най*ги функцию f. Эта функция однозначно определяется из требования, чтобы теорема о сохранении импульса выполнялась в любой инерциальной системе (Льюис [144]). Пусть S и S'—две инерциальные системы с относительной скоростью V. Рассмотрим столкновение двух одинаковых частиц 1 и 2, двигавшихся со скоростями U1 и U2 относительно S до столкновения. Соответствующие скорости в системе 5'определяются из (2.55). Предположим, что до столкновения скорости частиц удовлетворяли условию
щ — —U1. (3.5)
Из (2.55) и (2.55') следует, что
uj=—U2. (3.6)
После столкновения частицы будут иметь скорости U1 И U2 в системе S и uj, U2 в системе S'. Рассмотрим частный случай, когда начальная и конечная скорости частицы 1 имеют противоположные направления, т. е.
U1=—Otu1, (3.7)
где а — положительное число.
Из соображений симметрии имеем также
U2 = —OtU2 (3.8)
с тем же коэффициентом пропорциональности а, так как в соответствии с (3.5) движение частицы 2 относительно наблюдателя в S' должно быть таким же, как и движение частицы I относительно наблюдателя в 5. Из (3.5), (3.7) и (3.8) следует, что
U2 — —U1, (3.9)
откуда согласно (2.55) находим, что
Ui = — U2-
Предполагая, что функциональное соотношение (3.2) после столкновения не меняется, из закона сохранения количества движения в системе S имеем
f (U1) U1 + f (и2) U2 = f (uj U1 + / (U2) U2- (3.10)
Предположим далее, что до столкновения скорость частицы 1 перпенди-
кулярна V, т. е.
(U1V) = O1 (3.13)
что с учетом (3.5), (3.7) и (3.9) дает
(UsV) = O1 (3.12)
(U1Vj = (U2V)=O. (3.13)
Теперь при преобразовании скоростей и2, U2 можно использовать простую
формулу (2.57), откуда следует, что
Ua = Ug (1— у2/с2)1 /2 + V = V — U1 (I — V211C2)1 /-9; (3.14)
«2 = (U2-U2) = и і (3 —V2Ic2) + V2, (3.15)
так как перекрестные члены согласно (3.11) равны нулю. Аналогично, учитывая (3.9), имеем
U2 = U2 (I — V2Ic2) 1>2 -г V = —ux(l — V2Ic2)1/- + v; 1
_ — f (3.16)
U2 = U? (1—V2Ic2) +V2. І
Подставив (3.14), (3.15) и (3.16) в (3.10), получим следующее векторное уравнение:
f (U1)-(I-V2Ic2)V2 f(Y(uf (1 — ir/c2) + tr])j U1 +
+ IiV\и\‘\ — V2Ie2) + y2})v=[f (U1) — (\ — v2/c2)U2f[]/r\vrl (I — Vі I с2) + V2\\ U1 +
+ f {у Iuiil-V2Ie2)+ vz\ )v. (3.17)
Умножая это уравнение на v и учитывая (3.11) и (3.13), имеем
f [VTusl (I-V2Ie2) + V2} ) = I [V{й\ (1 -V2Ie2) + и2! )•
Поэтому, если f — монотонная функция от аргумента, то
U1 = ии (3.18)
т, е. а = 1 в (3.7). Отсюда следует, что члены, пропорциональные v в (3.17), сокращаются, а коэффициенты при U1 и Uj равны.
54
Тогда уравнение (3.17) принимает более простой вид:
[f («1) - f ((I - V2Ic2) + V2} ) (I - ViIct)1 /2 ] (U1-U1)=O. (3.19)
Более того, поскольку из (3.7) и (3.18) следует, что
U1—U1 = 2щ Ф0,
коэффициент при U1-U1 в (3.19) должен равняться нулю, т. е.
f (U1) = (I - V2Ie2) Wfi ViuKl-ViIe2) + V2}). (3.20)
Если потребовать сохранения импульса для любых столкновений (типа рассмотренного), то функция f должна удовлетворять уравнению (3.20) при всех значениях независимых переменных и и v. Решение этого функционального уравнения получим, если устремим W1 в (3.20) к нулю; тогда
f (V) = f (0)/Vl-V2Ic2. (3.21)
Функция f (и), определяемая из (3.21), удовлетворяет уравнению (3.20) при всех значениях U1 и v.
Таким образом, из (3.2) и (3.21) получаем следующее выражение для релятивистской массы частицы, движущейся со скоростью и:
m = m0lV\—U2Ie1, (3.22)
где MbI ПОЛОЖИЛИ / (0) = шп.
Постоянная т0 (так называемая собственная масса или масса покоя частицы) тождественна массе частицы в ньютоновской механике; предположение, предшествовавшее (3.10), очевидно, означает, что масса покоя не меняется при столкновениях рассмотренного типа.
Для импульса частицы, согласно (3.1) н (3.2), теперь имеем выражение
р =т0иіУ I — Ii2Ic2. (3.23)
§ 3.2. Сила, работа, кинетическая энергия
Скорость, а значит и импульс свободной частицы не зависят от времени. Если импульс частицы изменяется, то говорят, что действует сила F, равная изменению импульса в единицу времени:
F = dp Idt. (3.24)
Уравнение (3.24), совпадающее при малых скоростях частиц со вторым законом Ньютона нерелятивистской механики, рассматривается как определение силы в релятивистской механике. Его можно считать уравнением движения только тогда, когда известно, каким образом сила F зависит от физического состояния системы, являющегося причиной изменения импульса частицы.
Как и в механике Ньютона, работа А, произведенная силой в единицу времени, равна
4-(F-u), (3.25)
где и — скорость частицы. Кинетическая энергия T частицы определяется уравнением
dT/dt = A = (Fu). (3.26)
