Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, оператор 25 представляет собой бесконечно малый поворот вокруг вектора ft. Угол поворота равен |ft|. Легко показать, что с точностью до малых высшего порядка формулы (2.62) и (2.63) для w, w" и ® удовлетворяют уравнению (2.60).
Рассмотрим точечный компас, т. е. материальную частицу, задающую тем или иным способом определенное направление. Таким точечным компасом является, например, классический электрон со спином. Если скорость частицы относительно системы S равна v = v (t) и если в (2.64) положить dv = = V dt, то системы S' и S" в рассмотренном выше приближении являются мгновенными инерциальными системами покоя частицы в моменты t и t + dt соответственно. Поскольку преобразование от системы S' к системе 5" есть инфинитезимальное преобразование Лоренца без вращения, естественно предположить, что направление компаса в момент времени t относительно S' совпадает с его направлением в момент времени t + dt относительно системы S", если силы, действующие на компас, не сообщают ему момента вращения.
При подстановке dv = v dt в (2.64) вектор ft определяет поворот осей системы S в момент t + dt для приведения их к одинаковой ориентации с осями S". А так как направление компаса в системе покоя неизменно, то его направление в системе S изменяется на угол, соответствующий вектору ft. Другими
45
словами, компас прецессирует в системе S со скоростью
со= —(l/w2)j(l — ir7c2)-1/2 — I} (v x v),
(2.65)
где V = dv/dt — ускорение точечного компаса. Когда v с, в первом приближении получим для скорости прецессии
<л = —vx v/2c2.
(2.66)
Данный эффект впервые был изучен Томасом (1927 г.) и назван его именем, т. е. прецессией Томаса.
§ 2.9. Преобразование параметров волны в теории относительности
Рассмотрим в системе S плоскую волну с единичным вектором п в направлении нормали к фронту волны, расположенным в плоскости х, у. Пусть эта волна обладает частотой v и фазовой скоростью w относительно S. Такая волна описывается одной или несколькими функциями вида
1F = A cos 2лл? [/ — (х cos a-f- у sin а)/іе>].
(2.67)
где а — угол между вектором п и осью х.
В системе S', движущейся вдоль оси X со скоростью V относительно S (см. рис. 1), волна описывается функциями, которые получаются из (2.67) заменой величин, определяющих фазу волны, соответствующими величинами, измеренными в системе S'. Исходя из тех же соображений, что и в § 1.3, следует инвариантность фазы плоской волны, т. е. уравнение
V \i — (xcos а + у sin a)j= V \t’—(х' cos а' -|- y' sin
(2.68)
должно быть справедливым при всех значениях х, у, t. С помощью преобразований Лоренца от системы S к системе S' исключим из этого уравнения переменные х, у, t и получим уравнение
I — V COS CLlW
(I —v2/c'2)112
= Vf-
vf-
Cos а — VWjc2
VX'
(1 _уа/с2)1/2
V sin а ,
----------У
v' cos а'
w
у' sin а'
w
¦У
(2.69)
которое должно выполняться для всех значений X , у', Ґ. Это возможно, если коэффициенты при х', y', t' в обеих частях (2.69) равны. Тогда имеем
I — V cos a/w
(1— ViIc-)112 v' sin a'
I — (vn )/w
(I — v0-/c-)lJ2 V sin a
w
Vt cos ar w'
W
(2.70)
v (cos a — VWfct) w (I — V2Ic-)1^2
Из уравнений (2.70) следует, что
tg a
sin a (I — v-Ic-)
2-,1/2
W
cos a — vw Icon— v cos ос
2vu> cos a V-Wi
v- sin- a
\
I /2
(2.71)
(2.72)
Обратные соотношения можно получить, как обычно, переобозначением штрихованных и нештрихованных переменных и заменой и на — v. В пределе,
46
когда с-> оо, уравнения (2.70), (2.71) и (2.72) приводят к нерелятивистским формулам (1.14), (1.16) и (1.19).
Сравнение преобразований (2.46) и (2.47) для скорости и направления движения частицы с формулами (2.71), (2.72) показывает, что (2.46) и (2.47) переходят в (2.71) и (2.72) соответственно, если положить и — CiIw, и = C2Iw1. Следовательно, когда w = c2/w, скорость частицы и и направление ее движения п преобразуются аналогично фазовой скорости w и нормальному вектору п плоской волны. Используя это обстоятельство, де Бройль [38] в своей волновой теории элементарных частиц с каждой частицей, обладающей скоростью и и направлением движения п, связал плоскую волну с фазовой скоростью w = C2Iu и нормальным волновым вектором п. Данная процедура, очевидно, релятивистски инвариантна. Когда скорость частицы и — с, фазовая скорость соответствующей волны w = с. Следовательно, направление движения и скорость такой частицы преобразуются так же, как направление и скорость плоской световой волны в вакууме.
2.10. Групповая скорость в движущихся средах
Рассмотрим однородную изотропную среду с показателем преломления п в инерциальной системе покоя S' (см. рис. 8). Относительно системы S среда движется со скоростью V. В системе покоя S' справедливы феноменологические максвелловские уравнения для неподвижных диэлектриков и, в соответствии с принципом относительности, они верны при любых постоянных скоростях движения S' относительно неподвижных звезд.
Поэтому в системе 5' фазовая скорость световой волны XV1 = сіп во всех направлениях. В этой системе отсчета групповая скорость должна равняться фазовой скорости, так как по принципу Гюйгенса элементарные волны, определяющие групповую скорость, являются сферическими волнами с постоянной скоростью
