Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. в момент возвращения сигнала в точку О часы в этой точке покажут время меньшее, чем в момент испускания сигнала. Это, очевидно, невозможно. Следовательно, можно сделать вывод, что ни в какой инерциальной системе не существует сигналов, способных распространяться быстрее света. Данное утверждение — один из фундаментальных законов природы. В частности, как мы увидим далее (§ 3.4), материальная частица никогда не может достигнуть скорости выше с. (О сверхсветовых скоростях см. литературу на стр. 393. — Прим. ред.)
Дифференцируя (2.25) н (2.25'), получаем формулы преобразования скоростей для случая лоренцевых преобразований без вращения:
и' — (и — v)!(l —«у/с2); и — (и' + v)/(l + vu'/с2).
(2.49)
(2.50)
X — W (t — Z1) + Хр.
Полагая х = 0, находим время Z2 прибытия сигнала в точку 0:
Z2 = Z1 — xpfw = yi[ {1 — и vie2 -Ь (и — v)!w) >- Z1. Выбирая и' и w так, чтобы
и > C2Iv; w>- (и — v)l (и vie2 — 1),
получаем, что
(2.53)
(2.52)
(2.51)
(2.54)
' - ( 1 — 0'7са)1 / 2 Ц + [{I -V (I-V1 Ici) } (UV) IVі - I ] V
(2.55)
1 —(vu)/c2
43
(I - p«/ca) I/2 — У (I— vVc2)} (m' v) Iv2 +11 V
(2.55')
I -f(vu')/c2
Если c-v oo , то эги уравнения приводятся к (1.3). Из (2.55) получим
что соответствует (2.48). Когда и' перпендикулярна v, т. е. при u'v = 0, уравнение (2.55') дает
Когда и параллельна v, опять приходим к формуле (2.49),
§ 2.8. Последовательные преобразования Лоренца. Прецессия Томаса
Рассмотрим три инерциальные системы 5, S' и S". Пусть S' движется относительно S со скоростью V, a S" движется относительно S' со скоростью и'. Связь между координатами (х, t) системы 5 и (х', f) системы S' дается преобразованиями Лоренца (в общем случае неоднородными). То же справедливо для координат (х\ Ґ) и (х", t") системы S". Исключая переменные (х', f), получаем соотношения между (х, t) и (х", t”), которые, как это ясно из физических соображений, также являются преобразованиями Лоренца. Отсюда следует, что преобразования Лоренца образуют группу. Если при t = t' — О начальные точки в S и S' совпадают и если при i' = t"= О начальные точки в S' н в S" также совпадают, то при t = t" = О совпадают и начальные точки инерциальных систем S и Sn. Это значит, что однородные преобразования Лоренца образуют подгруппу группы Лоренца. Очевидно, что и пространственные вращения декартовых осей без изменения системы отсчета также образуют подгруппу группы преобразований Лоренца.
В нерелятивистской кинематике преобразования Галилея без вращений декартовых осей образуют подгруппу группы преобразований Галилея. Это неверно, однако, для релятивистской кинематики, так как при комбинировании двух преобразований Лоренца без вращений результирующее преобразование в общем случае приводит к изменению ориентации декартовых осей. Пусть переход от системы S к системе S' определяется преобразованием (2.25), а переход от системы S' к системе S" уравнениями, полученными из (2.25) заменой (х, t, v) на (х', и') и (х', ?) на (х", t"). Исключение (х', f) приводит
к преобразованиям Лоренца типа (2.28), т. е.
где оператор ?> в общем случае отличен от единичного; w — скорость системы S" относительно S и w" — скорость S относительно S". Преобразования от
S к S' и от S' к S" есть лоренцевы преобразования без вращения, а потому скорость S' относительно S" равна — и', а скорость S относительно S" равна — V.
Скорость w получаем из (2.55), отождествляя и с w, т. е.
Из этого же уравнения, заменяя v и и' на — и' и — v соответственно, находим w"
(1-VU/C2)(1~U,,/C2)I/2 = (1— у2/с2)1/2(1_ aa/ca)i/2f (2.56)
U = V + (I — V-/С2)112 u's
(2.57)
(2.58)
(I —И2/C3) I/2 u' + v [(ll' V/i>a){l —(I—Pa/Ca)I/2}+l]
(2.59)
H-(u'V)/C3
W
(l-e/V^'/gy + ll'Ku' v/»'2){l-(l-«'V)1/2} + lI
(2.59')
1-Ми' v)/c2
44
В соответствии с (2.29) имеем
25w" = —w.
(2.60)
Сравнивая (2.59) и (2.59'), видим, что оператор Ъ, вообще говоря, уже не равен единичному оператору. И только если скорость и' параллельна v, т. е. когда u' = kv, формулы (2.59) и (2.59') дают
w"=—w - —V (I + ?)/(1 + Ь2/с2),
т. е. оператор ?> совпадает с единичным, а результирующее преобразование является преобразованием Лоренца без вращения.
Теперь рассмотрим инфинитезимальное преобразование от S' к S", при котором скорость и' является бесконечно малой величиной. Пренебрегая членами высшего порядка малости по сравнению с и\ преобразование от S' к S" приводим к виду
х" = х'—и'Г; /" = *'—(и'х#)/са, (2.61)
а для скоростей w и w" из формул (2.59) и (2.59') получаем выражения
w = V -J- (I — v2/c2) и' + V (vu')/y2 {(1 — V2Zc2)1/2 — lj
w" = —{v-f-u' — v(vu')/c2};
W2 = Wt = V2 jC 2 (vu') (I —V2Zc2).
(2.62)
Подставив в (2.61) формулы (2.25) для х' и t' и сравнив с (2.58), после простых, но громоздких вычислений получим
Э_1х = х-1-----{(1—V2Ic2)-1/2 — 1} {(v X dv) X х};
Отсюда следует, что где
dv = w—V.
Эх = х-f (ft х х),
(2.63)
ft = -(1 Zv2) {(1 -V2ZeyiV-1} (v х dv). (2.64)
