Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
nidufdt =F = (elс) (uJ1 х Н). (3.50)
Здесь т — релятивистская масса, которая в данном случае является постоянной величиной, так как энергия частицы E в соответствии с (3.396) не меняется со временем, поэтому не меняется и значение вектора скорости U.
Из (3.50) следует, что составляющая ускорения в направлении H равна нулю, т. е, составляющая скорости в направлении поля иц — величина постоянная, а вместе с ней постоянна и перпендикулярная составляющая Uj_, так как величина вектора скорости не меняется со временем. Поэтому траектория частицы будет винтовой линией с осью, параллельной Н. Ее проекция на плоскость, перпендикулярную Н, является окружностью с радиусом р, определяемым из условия, что при круговом движении центростремительная сила ти]_!P должна равняться силе (3.49). Отсюда следует, что
mu\Jp = (ei°) и± • H
или
p_L = tnu± — (elc)H р. (3.51)
Если скорость частицы перпендикулярна направлению поля, то
р -- (е/с) Hp. (3.52)
Это уравнение позволяет с помощью измерений H и р определить импульс частицы. Эта формула особенно полезна при исследовании космических лучей, (3-излучения и в масс-спектроскопии.
§ 3.5. Эквивалентность массы п энергии
Рассмотрим снова систему S1, состоящую из свободных частиц. Если (р, Е) и (p', E') — полный импульс и энергия системы в двух инерциальных системах S и Sr, то соотношения между ними определяются по формулам (3.37). Для такой системы инвариант (3.34) всегда отрицателен. При п — 1 этот инвариант, в соответствии с (3.35), равен — mlc2, и, поскольку (3.35) выполняется для каждой частицы, вся величина р2 — EzZc2 при п >¦ 1 должна быть меньше — 2 (т<г)с)2. Следовательно, всегда можно выбрать систему
L
S', в которой полный импульс р' равен нулю. Поэтому, полагая р' — О в (3.37), получаем следующее выражение для относительной скорости v двух систем отсчета S и У:
v = (c2/E) р. (3.53)
Поскольку р2—Е~/с<С 0, то ? > ср, и относительная скорость v всегда меньше с, что и требовалось доказать.
60
Инерциальная система 5°, в которой р° = 0, называется системой покоя для Z1 или системой центра масс, так как система S1 как целое имеет механические свойства, аналогичные свойствам частицы в системе покоя 5°. Пусть и —скорость системы S0 относительно произвольной инерциальной системы 5, тогда и обозначает также скорость, с которой S1 как целое движется относительно 5.
Отождествляя в (3.37) систему S' с 5°, получаем, что
P = E0Ujc2Y^—и2/с2; E=E0I]/!—U2Jc2. (3.54)
Эти соотношения выражают зависимость полного импульса и полной энергии системы H1 от скорости системы. Теперь естественно определить полную массу системы, как и для одной частицы, в виде отношения полного импульса к скорости [см. уравнение (3.1)]. В соответствии с (3.54) полная масса M системы S1 есть
M = (E0Jc2)I Yl-U1Ic2 = EJe2 = MJYl-U1Ic2. (3.55)
Это соответствует массе покоя M0 = E0Ie2, которую с помощью (3.38) можно представить в виде
M0 = E0Je2 = Vi0jT T0Je2, (3.56)
где т0 — сумма масс покоя всех частиц, a T0 — полная кинетическая энергия в системе покоя.
Выражения (3.54) для импульса и энергии системы S1 с учетом (3.56) становятся совершенно аналогичными выражениям (3.23) и (3.31) для импульса и энергии одной частицы. Из (3.56) видно, что полная масса покоя системы S1 больше суммы масс покоя всех частиц т0 на величину T0Ie-. Таким образом, внутренняя кинетическая энергия системы S1 увеличивает инертную массу системы на TttIc-.
С помощью (3.54) и (3.56) инвариант (3.34) можно представить в виде
р2 — E2Ic2 = — M6C2, (3.57)
что аналогично выражению (3.35) для одной частицы. Формулу (3.57) можно рассматривать как определение массы покоя системы S
Важный вывод о соответствии кинетической энергии системы свободных частиц их инертной массе можно распространить на любой вид энергии.
Предполагая справедливыми общие законы сохранения, можно показать,
что
Am = AEfe2. (3.58)
Для доказательства этой важной теоремы рассмотрим «столкновение» системы свободных частиц S1 с другой произвольной физической системой 221 при котором определенное количество энергии и импульса переходит из системы S1 в S2- Частицы в системе S1 до и после столкновения — свободные, поэтому полная энергия и полный импульс системы до и после столкновения преобразуются в соответствии с (3.32) и (3.37). Вычитая преобразование для энергии и импульса системы после столкновения из соответствующего преобразования для энергии и импульса до столкновения, получаем
Ap =Ap' +
V
V
2
(уДр') {I —(I — a2/c2)l/2} + t>2 AE'/Ci YI —ViIc2
A E = [А?' + (vAp')]// I-V2Je2,
(3.59)
где (Ар, AE) и (Ap', AEr) — уменьшения полного импульса и энергии системы в результате столкновения (измеренные в системах 5 и S' соответственно). Если в течение всего процесса энергия и импульс сохраняются, то соответствующие величины системы S2 возрастут на Ap и AE в инерциальной системе
61
S и на Ap' и ДE'— в системе S'. Тогда из (3.59) следует по аналогии с (3.34), что выражение
I Лр|2 — (Д?)2/с2 = |Др']2 — (AF)Vc2 (3.60)
