Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
dl/dt' = (l +(v.u')/c2)//1 — V2Ic2.
Поэтому с помощью (3.37) окончательно получим
P___ __ п-V2ICi)4-Fy-I-V t(vF') {l—(1 — u3/cg)1 /2}Ч-(Fr u') ViIci]Iv2
di dt I-f (vu')/c2
(3.40)
где F' — сила, измеренная в инерциальной системе S'. В релятивистской механике сила уже не является абсолютным понятием, как в механике Ньютона.
Если вместо t ввести собственное время частицы т, а силу Минковского определить соотношением
Fm = FffrI-U2Ic-, (3.41)
то уравнения (3.39) с помощью (2.38) можно представить в виде
^L = Fm, — = Fmu. (3.42)
d% dx
Поскольку т — инвариант, величины {р, ?/с2} в левых частях (3.42) преобразуются подобно пространственно-временным координатам (х, (). То же справедливо и для величин {Fm, (Fmu)Zc2J. Это можно проверить непосредственно с помощью формул (3.40), (2.55) и (2.56).
§ 3.4. Гиперболическое движение. Движение электрически заряженной частицы в постоянном магнитном поле
Уравнение (3.39) можно рассматривать как уравнение движения только тогда, когда известно, как именно зависит сила F от переменных физической системы, вызывающих изменение импульса частицы. Когда скорость частицы мала по сравнению с с, релятивистские уравнения должны совпадать со вторым законом Ньютона, Поэтому в инерциальной системе S0, относительно которой частица в рассматриваемый момент имеет нулевую скорость, силу F0 можно считать тождественной ньютоновой силе. Тогда с помощью (3.40) можно вычислить силу F в произвольной инерциальной системе S. Пусть скорость частицы относительно S равна и; если S' в (3.40) — система покоя S0, то v = и и и' = 0, и для силы F в системе S получим выражение
F= F0 (I —UiIc^y i- -j- u ((UF0)Iu2) {1 —(1 -W2A;2)1/2), (3.43)
58
где F0 — ньютонова сила. Разлагая каждую силу на две компоненты, параллельную и перпендикулярную и, т. е.
F =Fn+ Fi; F0 = Ffl+ Fi, получаем вместо (3.43) простые уравнения
Fii--F0"; Fjl = Fi (1 —U2Ici)1!2. (3.43')
Таким образом, зная силу F0, с помощью (3.43) или (3.43') можно вычислить силу F в любой инерциальной системе S. Можно показать, например (см. § 5.7), что сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле E и магнитном поле Н, определяется формулой Лоренца
F = fi{E + (l/c)(uxH)}, (3.44)
где и — скорость частицы; е — ее электрический заряд и u х H — векторное произведение векторов U и Н.
Теперь левую часть уравнения движения (3.39) с помощью (3.1), (3.31)
и (3.39) можно записать в виде
dp d (mu) du ,dm du . I dE du , і F-u Ч
v — '- — т-----1----u = т------1------U = т ¦—- + — и,
dt dt dt dt dt с'1 dt dt C2
где т — релятивистская масса, определяемая формулой (3.22). Подставив данное выражение в уравнение (3.39), получим уравнение движения в форме
mdu/dt = ?—u(Fu)/c2. (3.45)
Итак, направление ускорения в общем случае уже не совпадает с направлением силы, поэтому движение частицы в релятивистской механике является более сложным, чем в механике Ньютона. И только в том случае, когда сила параллельна пли перпендикулярна мгновенной скорости и, движение частицы относительно простое.
Разберем оба случая. Пусть на частицу действует постоянная сила F = m0g, направление которой совпадает с направлением начальной скорости частицы. В соответствии с (3.45) частица будет продолжать двигаться в том же направлении. Поэтому траекторией частицы будет прямая линия, которую можно взять в качестве оси .г, тогда уравнение (3.39а) примет вид
d ( и ) F dx
"¦ и ¦¦
dt \ "|/(1—UiICi) / т0 ь’ dt
Предполагая, что скорость частицы равна нулю при t = 0, и интегрируя, получаем, что
и/ Y1 и?Iс'~ ~ gt,
или
u — dx/dt = gtf\ I + (gt/c)2. (3.46)
Если предположить далее, что х = 0 при t = 0, то второе интегрирование
ласт
х = (CiIg) [{1 + (gt/c)2}112— 1] (3.47)
или
(-V' + C2Igf- с2 е = CiIg2. (3.48)
Уравнение (3.48) в плоскости xt изображается гиперболой, поэтому рас-
смотренное движение называется гиперболическим движением [31, 237].
Если (gif <$' с2, то, пренебрегая членами порядка gt/c и выше, получаем из (3.47) обычное уравнение
х = (1/2) gt\ описывающее движение с постоянным ускорением.
59
Для больших значений t, т. е. при больших скоростях, увеличение X с возрастанием t происходит медленнее, чем в механике Ньютона. При t оо скорость и, определяемая формулой (3.46), стремится к конечной величине с независимо от значения g. Таким образом, даже при действии очень большой постоянной силы на частицу скорость света никогда не достигается. Это соответствует выводу § 2.7. Движение заряженной частицы в постоянном электрическом поле, направление которого параллельно скорости частицы, как раз является движением рассмотренного вида.
Пусть теперь частица движется в постоянном магнитном поле Н. Сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, в соответствии с (3.44) равна
F = (е/с) (их H)== (е/с) (UlXH), (3.49)
т. е. сила перпендикулярна скорости и, их и Н. Поэтому (Fu) = 0, и уравнение движения (3.45) принимает тот же вид, что и в ньютоновской механике, т. е.
