Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 22.2. Рассмотреть необратимое расширение газа при постоянном
внешнем давлении. Два цилиндра А и В соединены капилляром с краном К
(рис. 51). Цилиндр А объема V замкнут и в нем находится v молей одно-
. Расширение газа при постоянном давлении
§ 22. Второе начало термодинамики 183
атомного идеального газа под давлением р > р0. Цилиндр В соединен своим
открытым концом с атмосферой при давлении р0. В цилиндре В имеется
поршень, который может скользить без трения вдоль цилиндра. Вначале
поршень прижат к стенке цилиндра. Затем кран К, закрывающий
соединительную трубку между цилиндрами, слегка открывается и начинается
медленное перетекание воздуха из цилиндра А в цилиндр В, в результате
чего поршень цилиндра В бесконечно медленно отодвигается от стенкй. Между
газами в цилиндрах с внешней средой, находящейся при постоянной
температуре Т0, происходит теплообмен. Найти, сколько молей газа перейдет
из объема цилиндра А в объем цилиндра В, когда система достигнет
состояния равновесия. Чему равны отношение объема VB газа в цилиндре В к
объему V, работа А, совершенная газом, и количество теплоты Q, которым
газ обменивается с окружающей средой? Вычислить полное изменение энтропии
AS газа и окружающей среды.
Поскольку расширение газа происходит изотермически, можно написать рУ=
Po(V+ VB), т. е. р = р0(1 + Vв!V), (22.24)
откуда
VB/V=p/p0-l. (22.25)
Для нахождения числа х молей, перешедших в результате расширения в объем
цилиндра В, можем написать для начального и конечного состояний уравнения
pV- vRT0, PoV= (v - x)RT0, из которых следует, что
х = v(l - Ро/р). (22.26)
Работа газа при расширении A~p0VB, или [см. (22.26) и (22.25)]
Л = (р- Ро) pVx/v = xRT0, (22.27)
т. е. газ при расширении совершает работу над внешней средой. Поскольку
процесс изотермический, внутренняя энергия газа (идеального!) не
изменилась и, следовательно, вся энергия, которую газ затратил на
совершение работы, получена газом из внешней среды в виде теплоты. По
закону сохранения энергии, эго количество теплоты равно
Q = A=xRT0, (22.28)
т. е. теплота поступает в газ из внешней среды.
Полное изменение энтропии слагается из изменения энтропии ASr газа и
изменения энтропии AScp среды:
AS = AST + AScp. (22-29)
Для вычисления изменения энтропии заменим рассматриваемый необратимый
процесс обратимым с тем же конечным состоянием. Д#я газа это будет
изотермическое расширение:
(2)
ASr = j bQ/Т - vR In ipjpo). (22.30)
(i)
184 2. Термодинамический метод
А
52
Из внешней среды тазу передается количество теплоты Q = xRT0, а
количество теплоты во внешней среде изменилось на -Q - -xRT0 и ее
энтропия изменилась на AScp= -Q/T0 = -xR, (22.31)
т. е. уменьшилась. Полное изменение энтропии в результате рассмотренного
процесса
AS = vR In (р/ро) - xR =vR (In [v/(v - x)] - x/v), (22.32)
где p/po = v/(v - x).
Пример 22.3. Найти работу, которую совершает газ в обратимом
изотермическом расширении от объема V и давления р до давления р0 и
объема V+ VB (см. пример 22.2). Сравнить эту работу с работой (22.27)
необратимого процесса и выразить разность работ через изменение энтропии.
Работа при изотермическом расширении газа
(2) (2)
Лбр = J Р vRT0 J dVjV- vRT0 In \_(V+ VB)/V] =
(i) (i)
= vRT0 In {p/po) = vRT0 In [v/(v - x)].
С учетом (22.27) находим A - Aobp = xRT0 - vRT0 In [v/(v - x)] = - T0 AS,
(22.33)
т. e. работа в необратимом процессе меньше, чем в обратимом.
Пример 22.4. Исследовать необратимое расширение газа в пустоту. Имеются
два цилиндра А и В одинакового
объема, соединенных капилляром с краном К (рис. 52). 52 расширение
газа в пустоту
Оболочки цилиндров (и капилляра) адиабатические. Вначале кран К закрыт,
цилиндр В пустой, а цилиндр А наполнен v молями газа при температуре Т.
Затем кран К слегка открывается и газ через капилляр переходит из
цилиндра А в цилиндр В. Этот процесс предполагается достаточно медленным,
чтобы можно было считать, что газ как в цилиндре А, так и в цилиндре В
все время находится в квазистатическом равновесии. Однако он должен быть
не настолько медленным, что между ци-
§ 22. Второе начало термодинамики 185
линдрами успевает произойти прямой обмен теплотой. Другими словами,
обменом теплотой между цилиндрами пренебрегаем. После того как давления в
цилиндрах стали равными р', кран закрывается. Найти число молей,
перешедших из цилиндра А в цилиндр В, температуры газа ТА и Тв в
цилиндрах А п В, давление р' и изменение энтропии AS в этом процессе.
В .начальном состоянии в цилиндре А имеется v молей газа при давлении р и
температуре Т = pV/(vR) в объеме V, а в конечном состоянии имеется v - х
молей газа при давлении р' и температуре Т'А. Процесс произошел с
изменением количества вещества. Поэтому для использования формул,
справедливых для процессов с неизменным количеством вещества, надо
пересчитать конечное состояние на v молей газа при тех же давлениях и
температурах. Ясно, что если v - х молей газа заполняют объем V, то v
