Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
разложении левого детерминанта дает равный вклад. Используя эту
симметрию, получаем точно то же самое значение интеграла, сохраняя лишь
главную диагональ и умножая результат на 7V!. С помощью обычных правил
умножения детерминантов на скалярные величины каждую строчку справа
теперь можно умножить на функцию, стоящую на главной диагонали первого
детерминанта, и это приводит к третьей форме выражения (73).
С числителем расправляются таким же образом, хотя задача в этом случае
несколько сложнее. Мы можем не предполагать
МЕТОД ЛЁВДИНА И КАРРА
79
инвариантности отдельных членов в потенциальной энергии по отношению к
обмену координат частиц. Однако полный гамильтониан инвариантен
относительно такого обмена. Для одночастичных потенциалов мы получаем
5 | У I2 2 и (О) dsO ¦ ¦ ¦ =¦ 2 ^ U М Ч>7 (r") 5 D) ¦
¦ ¦
i г, j
¦ ¦ ¦ d3ri+l . . ., (74).
а для двухчастичных потенциалов
5 |ЧЧ*2 2V(r", r})d3r, ... = 2 \ фТМфТОч)^. rj)x
i=t=i i. j, i, m
X Фг (гг) фт (о) jj DYm d3rY .. . d^i-i d3ri+l . .. d3r}-i d3rj+l ....
(75)
Сумма этих членов, если разделить на знаменатель, равна ферромагнитной
энергии.
Подынтегральные выражения D) и D]]m получаются из последнего выражения
для знаменателя (73) путем вычеркивания i-й строчки и /-го столбца для
получения D) X (- 1)*+3, а t-я и /-я строчки, l-й и т-й столбцы
вычеркиваются, чтобы получить Dim X (- l)i+j+z+m_ Эти странные функции
явно вводятся в интегралы энергии. Далее все эти детерминанты можно легко
оценить путем разложения, интегрирования и объединения членов. Сперва
находят
Знаменатель - Det | Ьц [, где = ф* (г) (fj (г) d3r. (76)
Видно, что интеграл от D) есть просто минор детерминанта с элементами
Lij. Из обычной теории детерминантов имеем
[ D\d3r. ...
-j- J -----= (L~1)ij (77)
Знаменатель ' '
и аналогично:
I D\m d3rl • ¦ ¦
Знаменатель
Здесь L 1 - матрица, обратная L, причем последняя определяется как
квадратная матрица с элементами В твердых телах, которые обладают
трансляционной инвариантностью, они суть циклические матрицы и легко
могут быть обращены [18-20].
Рассмотрим для примера одномерную цепочку с перекрытием только ближайших
соседей. Тогда Lп = 1 и Liii±1 s I, а все другие матричные элементы
исчезают. Чтобы сделать матрицу
80 2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
цикличной, мы положим N + 1 = 1, что эквивалентно периодическим граничным
условиям. Собственные векторы L являются
плоскими волнами
eihn при к=± 2л ЦоЛ~^уЧПСЛ° , (79)
а собственные значения
Lk = 1 + 21 cos к. (80)
Таким образом, можно проверить, что Lnm = UN 2
А
п, что более важно, матричные элементы обратной матрицы имеют вид
к
* f d0?2i^LzTj.= c/l"-(tm)IJ±|* (81)
2л J 1 -2Jcos0 i - d2' v '
- Я
гДе ^ = T- e- rf=^r(l ~ 1^1- 4/Z) ~ - L
Сумма по k в первой строке была заменена во второй строке соответствующим
интегралом (в пределе N -> оо). Видно, что элементы обратной матрицы
экспоненциально уменьшаются с расстоянием | га - т |. Следовательно, если
I достаточно мало, то останется только [га - гаг | = 0, что соответствует
(как мы увидим) гейзенберговскому взаимодействию ближайших соседей.
Проиллюстрируем это для случая трех измерений на примере простой
кубической структуры.
Используя выражение (72) и последующие, находим, что энергия
ферромагнитного состояния в трехмерном случае равна
Яферро =22 (L_1)U \ Ч3' W U Ф' (Г) ЛзГ + i Э
+ 2222 J гф? (r) ф? (О-ф* (О ф* (r)i х
i j I т
X V (г, г') фг (л) фт (л') d3r d3r'. (82)
Допустим, что
= ап = а (га,, га2, га3) и Rmj = ап'= а (п[, п'2, п'3). (83)
Определим
C/k = 2 e~* RU J ФГ (г) U (г) фДг) d3r (84)
МЕТОД ЛЁВДИНА И КАРРА 81
II
Lk = 2 е~1к'(tm)ЧЬи = 1 -f- 21 (cos kxa -(- cos kya + cos kza). (g5)
Таким образом, если не соблюдается неравенство I < 1/в, некоторые Ьк
равны нулю и Ьц не может быть обращена. Используя
ОО
тождество 1//- ^ dse-s> и определение /" (z)- функции Бесселя
о
мнимого аргумента [см. гл. 8, уравнение (99), стр. 320], мы легко найдем
оо
(L-%, = jj dse-Ч^ (2 si) I г,' (2 si) 1^ (2 si) - Lrx (n[, n'" n3), (86)
о
указывая явную зависимость от расстояния с помощью аргумента (к(, п'2,
п3) и допуская, что I < 1/6. Заметим, что член наибольшего порядка Lr1
(0) = 1 -)- 6Z2 ^ 1, a L~x (1, 0, 0) = - I, Zr1 (1,1,0) и Ь~1 (2, 0, 0)
порядка (Z2) и т. д. В конце концов для энергии ферромагнитного состояния
получим
Яферро = 2 + 2 i_1 (") L_1 (П') X
k I, т, п, п'
х ^ [ф* (0 ф* (/¦') - ф* (^') ф* (^)] V' (г, r')yi{r)ym(r')d3rd3r', (87)
где R, = Rf яп и R;- = Rm. - ап'. Члены Zr1 (0) описывают прямое и
гейзенберговское обменное взаимодействие, V и U в обозначениях, которые
мы использовали для молекулы водорода. Члены L~l (1, 0, 0) включают
интегралы, напоминающие интегралы, с которыми мы имели дело при
рассмотрении трехатомной молекулы
IT1 (1, 0, 0) Z41 (0) ^ [ipf+ad, о, О) (г) Фт (0~
- фГ+dfl. О, 0) (г') Фт (0) У {г, г') ф! (г) фш (г) d3r d3r'.
Эти и последовательно более усложненные члены не могут быть связаны с
простыми операторами вида Sj-Sj, но требуют таких комбинаций, как
