Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
разлагаем обе матрицы в ряды по операторам перестановок, перераскладываем
по простым операторам переноса и их произведениям, а затем используем
принцип Паули для выражения этих операторов в виде спиновых операторов
обмена.
Допустим, что атомные функции слегка усечены, так что перекрытие имеет
место только у ближайших соседей в геометрически правильном ряду N
атомов:
Тогда наряду с принятой за стандарт нормально упорядоченной функцией
могут быть получены путем различных перестановок координат частиц все N\
функций:
и т. д. Большое преимущество операторного формализма состоит в том, что
получаемые нами собственные значения матриц независимы от выбора исходной
функции Мы можем почти угадать, что матрица перекрытия имеет вид
^ I Ф" (г) I2 d3г = 1
(51)
Z, если (га, гаг) = ближ. соседи, О в других случаях.
% = Ф1 (ri) Ф2 Ы ¦ ¦ ¦ ф^лт), <9\гф1 = Ф1 (г2) ф2 (fi) • • • флг (rN),
&2Х& 12Ф1 = ф! (г2) Ф2 (rn) ¦ ¦ ¦ ф^ {ri)
(52)
Q = l + hZ2 + lh2Z*+... =ehi2+...
(53)
при
(54)
n, m= =ближ. соседи
74
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
многоточие в (53) вводится, чтобы скрыть настоящие трудности. Имеются два
типа поправок: "кинематические"- вызванные ошибками счета, потому что
произведение х множителей aPnm не всегда описывает перестановку х пар
координат. Например, члены типа
<^12^12=1 (55)
следует вычесть из 1/2h2Z4, так что первая кинематическая поправка имеет
вид
-\Nzl\ (56)
где z - число ближайших соседей каждого атома (например,
z = 2 в линейной цепочке и z = 6 в простой трехмерной
кубиче-
ской решетке). Следующая поправка
(57)
причем мы пренебрегаем членами порядка Nls, которые меньше величины (56),
не говоря уже о (57). Дело заключается в том, что главные поправки входят
со все возрастающими степенями N, образуя явно расходящиеся ряды. Если
добавить наибольший вклад в h, h2 и т. д., то матрицу перекрытия можно
переписать в виде
fi = i?eb'2+ . . ., (58)
где R - расходящийся ряд, т. е. зависящий от N:
2 <59)
71-0
а многоточие означает отброшенные члены высшего порядка.
Имеются еще "динамические поправки", которые мы теперь определим. Они
связаны с природой предположения, принятого
для перекрытия [в данном конкретном случае (51)].
В отличие от членов в R динамические поправки должны были бы измениться,
если бы мы предположили существование перекрытия для соседей, следующих
за ближайшими, или какой-либо другой закон перекрытия. Они зависят также
от некоторых геометрических подробностей, скажем: может ли атом иметь
ближайших соседей, которые одновременно являются ближайшими соседями друг
друга? Если ответ отрицательный (как в случае простой кубической
решетки), первая динамическая поправка к перекрытию появляется в третьем
члене ряда (53), из которого мы должны
КАТАСТРОФА НЕОРТОГОНАЛЬНОСТИ
75
вычесть
у J4 2 (60)
чтобы исключить члены, соответствующие эффективному обмену ближайших
соседей, запрещенному нашими постулатами. Дальнейшие динамические
поправки состоят, в частности, в исключении из ряда для Й всех
перестановок, которые неправильно удаляют электрон на расстояние,
превышающее расстояние до ближайших соседей.
Совершенно аналогичный анализ можно провести для матрицы взаимодействия.
Существенно вспомнить (мы говорили об этом в предыдущем разделе), что
между неперекрывающимися электронами нет обменного взаимодействия, так
что усечение атомных функций [ср. верхнюю часть (51)1 оставляет только
ближайшее взаимодействие. Даже кулоновская сила на дальнем расстоянии в
большой степени сокращается вследствие электронейтральности в среднем.
Задача намного упрощается, если мы за нуль энергии принимаем не N,
умноженное на е, а Ш\,\- Таким образом, член взаимодействия -
распространение на эту задачу левой части уравнения (32) - можно
представить себе как ряд по степеням h, с поправками как кинематического,
так и динамического типа
Взаим. = -j- ~2 1I2h2 -}-..., (61)
где
i*i =\ d3rt, ..., (<9\2 - ^)Фь (62)
п2 = 2пД2, ... ип = 1ги112П~", .... (63)
Помимо поправок того же происхождения, что и в матрице перекрытия,
имеются дополнительные динамические поправки к параметрам ип, в частности
когда имеется последовательное взаимодействие соседних пар. Например,
вместо г*2, как было определено выше, коэффициент при частной
перестановке <9\2йРз4 в точности должен быть равен
^ d3r 1 . .. d3rxtyXSe i2^34- ^4) Ф1 (64)
или же можно дважды сосчитать непренебрежимые взаимодействия между
четырьмя частицами, когда они являются ближайшими соседями. Снова,
вставляя эти и другие поправки в многоточие, мы находим
Взаим. = hi*! (Reh!t -(-...). (65)
70
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Таким образом, уравнение для собственных значений имеет вид huj (Rehli -г
.. .) ф = Е (Re"'* + . . .) ф. (66)
где Е отсчитывается от а ф - пространственная собственная функция. Но
последнюю в конце концов нужно будет умножить на соответствующую спиновую
функцию и полностью антисим-метризовать, поэтому позволительно заменить
операторы перестановок частиц Майорана спиновыми операторами
