Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
приписанный ей объем. Разумный выбор граничных условий в случае системы
из N электронов плюс N фиксированных протонов проиллюстрирован фиг. 2.1.
Пространственные собственные функции, подчиняющиеся граничному условию,
которое мы выбрали, удовлетворяют уравнению Шредингера:
с$?Ф= 2 3$ МФ+Е F (/•;,/•;) ф = ?ф, (3)
* * *" 3*
в котором гамильтониан обычно инвариантен при любых перестановках
координат неразличимых частиц, но в других отношениях вполне произволен.
ОБМЕН КАК СЛЕДСТВИЕ ПЕРЕКРЫТИЯ
57
Если электроны не взаимодействуют, произвольное решение уравнения (3)
может быть записано в виде произведения Хартри
Ф = /1 (ri) /2 (гг) ¦ ¦ ¦; (4)
ti (rj) - одночастичная волновая функция /-го электрона, заключенного в
i-й ящик. Но прежде чем говорить о волновой функции как о произведении,
следует подчеркнуть, что она не является собственной функцией оператора
сШ- Хотя частицы вынуждены оставаться в определенных ящиках, они ведь
все-таки взаимодей-
Фиг. 2.1. Граничные условия для N электронов + N протонов.
Крестиками обозначены протоны, штриховкой показаны электроны. Волновые
функции обращаются в нуль на потенциальных барьерах (указаны сплошными
линиями), которые являются узловыми поверхностями.
ствуют, и их скоррелированное движение не может быть в общем случае
представлено волновой функцией в виде произведения одночастичных волновых
функций. Поэтому если мы не хотим пожертвовать общностью, мы должны
написать истинную собственную функцию ф в виде
Ф = Ф (1/2/.../7V), (5)
указывая этим обозначением, что частица 1 находится в ящике 1 и т. д. Из-
за симметрии гамильтониана по отношению к перестановкам мы можем
переставить частицы 1 и 2, и волновая функция
^2ф = Ф(2/'1/.../Лг)
будет также собственной функцией гамильтониана (3), как и любая из N\
функций фр, получаемых соответствующими перестановками N электронов между
собой в исходной волновой функции (5), т. е.
^рФ=Фр. Р = 1. 2, ..., Ат!. (6)
Не составляет труда проверить, что все эти функции ортогональны друг
другу, так как частицы вынуждены оставаться в изолированных ящиках.
Следовательно, каждый энергетический уровень гамильтониана многих тел
iVJ-кратно вырожден в случае описан-
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ных выше граничных условий. Но не все N1 решений приемлемы; например,
полностью симметричная линейная комбинация функций фр
ЛГ!
Ч'сиМН^ 2 фр (7)
Р=1
может использоваться в теории одинаковых бозонов, но не годится для
частиц Ферми - Дирака при N > 3. Это лишь одно из следствий принципа
запрета Паули.
Правила для построения полностью антисимметричных волновых функций
пространственных и спиновых переменных даны в гл. 4. В настоящем анализе
наиболее важен тот факт, что имеются две степени свободы спина для
каждого электрона; следовательно, 2V ортонормированные спиновые функции,
которые можно комбинировать с N1 пространственными функциями, чтобы
каждому собственному значению Е отвечало точно 2N волновых функций,
зависящих от пространственных и спиновых переменных, подчиняющихся
принципу Паули. Если N есть четное (нечетное) число, результирующий
полный спин колеблется в пределах от ^полн = 0 (1/2) до максимума,
равного x/nN.
Мы можем забежать вперед и заглянуть в главу по статистической механике
(см. гл. 8), сказав, что даже при конечной температуре для
неперекрывающихся электронов в магнитном поле Н свободные энергии для
электронных и спиновых степеней свободы остаются аддитивными в том
смысле, что F = F3Il -f- Fcu. В частности, для спиновой части свободной
энергии имеем
Есп= - kTN In 2 ch •
подобно свободной энергии невзаимодействующих спинов, о которой говорится
в гл. 8. Даже если мы пренебрежем диамагнетизмом Fan (см. гл. 7), спины
упорядочиваются полем только парамагнитно, а не ферромагнитно. Поэтому в
этой модели ферромагнетизм невозможен.
Когда устраняется воображаемый потенциальный барьер, разделяющий
электроны, вырождение по Е кратности 2V снимается, как изображено на фиг.
2.2, где Е0 - энергия основного состояния, Е! - энергия первого
возбужденного состояния, и т. д. Пожалуй, тот способ, каким Е0
расщепляется в зону, играет важнейшую роль: если бы обменный гамильтониан
был способен воспроизвести истинный спектр Е0, мы бы значительно
упростили задачу. Даже если имеется значительное перекрытие между
спектром, соответствующим Е0, и высшими уровнями Ej при) = 1, 2, ...,
волновые функции могут физически быть настолько различными, что их можно
классифицировать по тому, какие степени свободы
МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА
59
они представляют - магнитные или электронные; весь ряд низко-лежащих
уровней (в количестве 2Л) можно удобно описать гамильтонианом
Гейзенберга, т. е. "эффективным" взаимодействием между спинами.
Ниже при изложении теории магнетизма в металлах (гл. 7) мы проанализируем
по меньшей мере два примера, где применяется этот метод. Когда электроны
получают возможность двигаться совместно, эффекты их взаимодействия можно
истолковывать с помощью низких порядков теории возмущений, то при этом
