Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
Остается один существенный оператор, который еще не введен, - это скаляр,
связанный с вектором момента количества движения, т. е. его квадрат:
L2 = L% -}- Ly Lz, (15a)
= ±(L+L- + L-L+)+Ll, (156)
- L+L Lz {Lz-h), (15b)
- L L+ -(- Lz (Lz -)- b). (15r)
Различные альтернативные формы для оператора L2 получаются одна из другой
с помощью соотношений коммутации (14) и определений (10) и (И). Одни из
них окажутся полезнее других, если, скажем, использовать собственные
функции L z.
Не составляет труда доказать, что L2 коммутирует со всеми компонентами L,
т. е.
[L2, Lz\ = [L2, Lx] = [L2, Lv] = [L2, L±] = 0. (16)
В этом можно убедиться, проверив соотношение для Lz. Произведение (L+L~),
которое появляется в уравнениях (15), не изменяет произвольную
собственную функцию оператора Lz, а лишь умножает ее на константу, так
как если L~ уменьшает собственное значение на единицу, то L+ возвращает
его к своему значению; то же относится и к произведению (L~L+).
Вследствие этого операторы L2 и Lz одновременно диагональны и,
следовательно, они коммутируют. Это может быть проверено и справедливость
приведенных выше равенств (16) для других компонент может быть
установлена с помощью основных соотношений коммутации (12)-(14). (Однако
для орбитального момента существует непосредственное доказательство: в
оператор L2 не входит азимутальный угол ф и, следовательно, он должен
коммутировать с д/д<$. А значит, оператор L2 из-за центральной симметрии
должен коммутировать и со всеми другими компонентами L.)
Поскольку операторы L2 и L. коммутируют, они имеют общую полную систему
собственных функций, которые можно обозначать с помощью собственных
значений каждого из этих операторов. А вот операторы Lx и Ly (а также L±)
не коммутируют с L г, и они не могут быть диагонализованы одновременно с
двумя предыдущими операторами; следовательно, их собственные значения не
могут быть определены одновременно. Но в выборе компоненты не содержится
потери общности, так как ось z можно выбрать вдоль любого произвольно
взятого направления. В случае орбитального момента нужные собственные
функции - это, как мы обнаружим ниже, хорошо известные сферические
функции.
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
89
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Радиальная зависимость волновой функции не играет никакой роли в
определении момента количества движения, поэтому мы можем обойтись вообще
без нее и рассматривать только функциональную зависимость от углов.
Волновые функции нормируются на сфере единичного радиуса:
2 л я
с?ф ^ с?0 sin 0гр* (0, ф)ф(0, ф) = 1, (17)
О -л
а два уравнения для собственных значений имеют вид
(18)
И
(19)
с собственными значениями т ("магнитное квантовое число") и X. Мы еще
указываем квантовомеханическую единицу момента Й, но в конце концов
удобнее использовать такие единицы, в которых Й = 1, и в дальнейшем в
этой книге будут приняты именно такие единицы.
Уравнение (18) для оператора Lz может быть проинтегрировано
непосредственно:
ф(0, ф) = е,тч)ф(0, 0). (20)
Теперь, чтобы определить квантовые числа т, следует включить граничные
условия, причем очевидно, что необходимо потребовать однозначности ф (0,
ф) на единичной сфере. Следовательно, нам нужно, чтобы имело место
соотношение
егт(ф+2л) eimqi! (21)
которое удовлетворяется следующим выбором:
ш = Целое число = 0, ^ 1, + 2, ... (22)
Возможны и другие граничные условия, но они будут нарушать другие
требования квантовой теории, о которых мы еще не говорили и о которых
скажем в следующем разделе. Те же самые граничные условия (21)
использовались и Дираком (см. Замечание в конце раздела) для
доказательства того, что электрический заряд квантуется в единицах
фундаментального заряда q.
Решение (20) теперь можно ввести во второе дифференциальное уравнение
(19), которое представляет собой уравнение для определения собственных
значений оператора L2. Непосредствен-
90 3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
но находим
(т^кТё~дв sinQ~dQ~ sin20 + ^ = 0; (23)
этому уравнению удовлетворяют присоединенные полиномы Лежандра, свойства
которых хорошо известны. Но если бы они не были известны, то следующая
конструктивная процедура могла бы помочь определить собственные значения
элементарными средствами.
Допустим, что волновая функция ф (0, <р) = е"пч'ф (0, 0) представляет
собой решение следующего дифференциального уравнения первого порядка в
частных производных:
?+ф(0, ф) = 0. (24)
Согласно уравнению (15г), ф есть собственная функция оператора L2 с
собственным значением
>L = m(/ra-f-l). (25)
Это значение т - особое, на основании предыдущего уравнения ф = 0. Оно не
может быть увеличено. Иначе говоря, это - максимальное значение
азимутального квантового числа для вычисляемого значения Я. Обозначим его
символом I. Следовательно,
Ь = 1(1 + 1), (26)
а т по-прежнему обозначает азимутальное (или "магнитное") квантовое
число. Для функции, которая подчиняется уравнению (24), I = т. Применяя
последовательно оператор L~, можно получить функции, соответствующие тому
