Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
равному 3, соответствует матрица 7x7 и т. д. Поразительный факт
заключается в том, что все представления четной размерности исчезают из
перечисления, если мы настаиваем на целочисленных значениях момента
количества движения, для которых были получены сферические функции.
Недостающие четноразмерные матрицы представляют собой операторы спинового
момента для полуцелых чисел j, т, и если их включить, то набор будет
полным.
Ц'т' \J+ jm) = 6;-, J>6m+1, m-h Y0 - m) (/ -f m 1),
V'm' /- jm) 6j, У (j - m^r 1) (/ -j- m),
{i'm' Кг jm) = 6j, m-hm,
{i'm' | J2 jm) = д6т, 7,1'A2/ (/ -j- 1).
СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ
97
СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ
Здесь мы расскажем о неприводимом представлении момента количества
движения четной размерности - о матрице спина, равного 1/2. Они очень
похожи на матрицы Паули 2x2, которые изобретены именно для описания
спина, т. е. внутреннего (собственного) момента электрона.
В этом наименьшем подпространстве, согласно выражениям (40)-(43),
операторы спина имеют вид
(45)
0 1 0 0 Ч2 0
S+ = h 0 0 , S~ = h 1 Of Sz = % 0 -Чг
52:
1 о 0 1
(46)
Спиновые матрицы Паули получаются из Sz и очевидных выражений SX =
1/2{S+-\-S~) и Sy = (S+ - S~)/2i, связывающих Sx, SycS+, S~ с помощью
соотношения
(47)
и, таким образом, в явном виде
0 1 0 -1 1 0 л 1 0
ох = 1 0 , о у - i 1 0 , Oz = 0 -1 и 1 = 0 1
(48)
Собственные векторы Sz и az суть двухкомпонентные спиноры
Х+ =
и Х- =
(49)
соответствующие т= ±1/2. Обычно вводят также и ст±, которые определяются
равенством а± = <
Можно аналогичным образом построить четные матрицы высшей размерности 4 х
4, 6 X 6 и т. д., используя общие правила вычисления матричных элементов,
которые дали нам выражения
(40)-(43). Это позволяет представлять соответствующими матрицами большие
спины: 3/2, Б/2 и т. д. Выписывать эти матрицы явно нет необходимости, в
частности и потому, что они становятся слишком громоздкими при
возрастании величины спина, а, кроме того, ниже мы найдем значительно
более удобные представления для операторов.
7 Д. Маттис
98 з. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Часто бывает необходимо сложить составляющие моменты количества движения
в полный оператор момента, а бывает и обратная необходимость - разложить
и упростить операторы со сложной структурой. Рассмотрим коротко этот
вопрос, не вдаваясь в подробности и даже опуская формальные
доказательства.
Даны два момента количества движения Jt и J2; интуитивно кажется, что J =
J4 J2 будет разрешенным моментом, подчиняющимся правилам коммутации (6) и
следующим. Но никакие другие линейные комбинации J4 и J2 не подойдут (см.
задачу 1).
Задача 1: Даны моменты количества движения Д и Jz. Показать, что аД+ bj2
есть сам по себе момент только, если а = b = 1, или а = 1, Ъ = О, или а =
О, Ъ = 1.
Как выразить собственные функции Jt и J2 с помощью собственных функций J,
и наоборот?
Предположим, что мы начинаем, зная полный набор собственных функций
моментов количества движения J4 и J2 (в виде спиноров, сферических
функций или каких-либо других функций), которые мы обозначим двумя
наборами квантовых чисел:
\]\mij2m2). (50)
Для фиксированных значений Д и ]2 имеются (2Д + 1) (2/z + 1)
ортонормированных собственных функций этого типа, соответствующих
различным выбранным значениям пн и т2. Каждая из них, следовательно, есть
собственная функция J~ с собственным значением пг = m-i -\- т2. (Нижними
индексами обозначим индивидуальные моменты количества движения, а
верхними - их компоненты; например /?.) Максимальное значение mt + т2
есть Д + /2; следовательно, именно максимальное значение т, которое по
определению равно Д есть квантовое число J2 [вспомним уравнение (24) и
выражения (25) и (26)]. Повторно применяя оператор = J~ -\- J~ к функции
с максимальным значением т, получаем все 2 (Д + /2) 4 1 ортогональных
функций, принадлежащих тому же самому значению /, но с различными m = Д 4
/2. /i + /г - 1. ¦ ¦ ч - Д - /г- (Заметим, что / не изменяется, потому
что J~ коммутирует с J2.) Только одна из этих функций имеет т = Д + /2 -
1, ибо, конечно, каждое значение т оказывается только один раз в этом
перечне. Но этому значению /г отвечают две функции: | ДД - ljsj2) и |
ДД/2/2 - 1). Функция, которая нас интересует, фактически есть сумма этих
двух функций
I hh - I/2/2) +1 Д/1/2/2 - 1), (51)
потому что 4- Рассмотрим теперь разность между
этими двумя функциями
I /1/1 -1/2/2) - | /1/1/2/2 - !)¦ (52)
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
99
Эта функция ортогональна предыдущей; она принадлежит тому же самому
значению т, и когда оператор /+ = /+-(- применяется к этой функции, то
получается нулевой результат. Следовательно, соответствующее значение та
максимально и (52) должна быть собственной функцией, принадлежащей / = Д
+ /2 - 1. Повторное применение оператора J~ к функции (52) дает 2(Д + /2
- 1) + 1 ортогональных функций, соответствующих всем возможным т.
Таким образом, два из трех состояний, принадлежащих т = j 1 + /2 - 2,
