Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
6 Уд J 16 У л
>: (8cos4 0 + 3 sin4 0 - 24 sin2 0 cos2 0'
(xi+yi+zi-2- ,-4) = 2_LiL [y4_ 0+|
, -m 1 l.m
r4
3 _ 8
94 з. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
известно, плоской волной, есть в то же время суперпозиция состояний,
соответствующих определенным значениям момента количества движения,
описываемых сферическими функциями. Это соответствует хорошо известной
формуле разложения плоской волны на сферические гармоники
со -j-1
= 2 i'U(kr)Yi.m{Q, Ф)УГ,т(0, Ф), (31>
1=0 т=-1
где коэффициенты
(32)'
являются сферическими функциями Бесселя, которые, как показывает
последняя формула, просто связаны с обычными функциями Бесселя Jp(z).
Если 0 и Ф-углы вектора к, а 0 и ф - углы, радиус-вектора г, то, введя
угол "в между гик,
cos ю = = cos 0 cos 0 + sin 0 sin 0 cos (ф - Ф), (33)
можно использовать так называемую формулу сложения
+п
Pn(c°S")=2^fr 2 П.т(0, ф)Уп.т(в, Ф). (34)
т=-п
Соотношения (31) - (34) широко используются в математике, в
электродинамике и квантовой механике, и мы не приводим здесь их
доказательств. Полиномы Лежандра
Р"(*) = 1, Л (*)=*> Р2(г)=4-(Зхг-1)... (35)
представляют собой особенно хорошо известные (почти элементарные)
функции, образующие полный набор ортонормированных полиномов в интервале
- 1<!х<+1.
Данное выше разложение плоской волны или любого другого набора
несферических функций содержит только те сферические функции, у которых
индексы I и т принимают целые значения. Именно это обстоятельство и
определяет наш выбор.
Заметим, что плоские волны представляют собой полный набор собственных
функций оператора бесконечно малого смещения. Полуцелые собственные
значения и связанные с ними собственные функции очень удобны в
определенных сферических системах координат, где смещения не разрешены. И
такое пространство имеется, оно называется спиновым пространством, и мы
вскоре к нему вернемся.
МАТРИЦЫ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 95
ПАТРИЦЫ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Сферические функции представляют собой ортонормированные собственные
функции L2 и и, используя их, можно вычислить матричные элементы
операторов Lx, Ly и L±. Так, дополняя выведенное ранее соотношение
L+Yltl = О,
можно получить
L+Yit т =-П У (I - т) (I + т + 1) Yu m+1, (36)
для чего следует непосредственно подействовать на сферические функции
(29) оператором L+. Очень полезны также следующие соотношения:
LrYUm = hY{l - /га + 1) (Z + ш) Y,,m~i, (37)
LzYit т = fimYi,m (38)
и
U-Yu m = [ L| + у (L+L- + L~L+) ] Уi. m,
= Tl2 [m' + Y {I-m)(l+m+l) + 1 (Z_ m+l) (J+m) ] Yt,m,
= %4{l + \)Ylim. (39)
Заметим, что для получения последнего равенства нет необходимости
использовать какие-нибудь свойства сферических функций. Собственное
значение L2 можно вычислить, используя предыдущие три выражения, т. е.
используя структуру матриц L± и Lz. Но эту матричную структуру можно
также установить, не используя явный вид сферических функций, а применяя
соотношения коммутации (12)-(14). Таким образом, эти выражения можно
применять и к решениям с полуцелыми собственными значениями, которыми мы
вскоре заинтересуемся.
Общепринятые обозначения L±, Lz и L2, I и т мы будем продолжать применять
в случае орбитального момента. Для общего или произвольного момента (если
использованы только основные соотношения коммутации и мы не требуем,
чтобы I и т были целыми) J заменит L, a j заменит I, хотя собственные
значения J г будут по-прежнему обозначаться через т. Общая матричная
структура операторов момента количества движения может быть получена при
использовании только соотношений (12)-(16) и соображений, высказанных в
первом разделе. Для матричных элемен-
96
3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
тов получим
(40)
(41)
(42)
(43)
Операторы момента количества движения из-за общего множителя 8j, j- могут
быть представлены с помощью квадратных матриц (2/ -f 1) х (2/ + 1),
которые действуют в подпространстве 2/ + 1 линейно независимых
собственных функций оператора /2, принадлежащих данному значению /. Такие
матрицы по способу их построения удовлетворяют основным соотношениям
коммутации (6) или (12) - (16) и тем самым описывают истинный момент
количества движения, т. е. имеют все права называться матрицами момента
количества движения. Можно найти и большие матрицы; они тоже матрицы
момента количества движения, но они распадаются на блоки с приведенными
матричными элементами и называются приводимыми представлениями. Наиболее
компактные матрицы, имеющие свойства момента количества движения,
являются неприводимыми представлениями операторов моментов, и они
особенно интересны. Например, неприводимое представление момента
количества движения, равного 1, имеет вид
0 V2 0 0 0 0 1 0 0
Х+ А 0 0 V2 , х~ = ъ J/2 0 0 , <55 г - А 0 0
0
0 0 0 0 у 0 0 0 -1
(44)
Мы не включили сюда матрицу X2, которая есть произведение Ъ2 X 2 х
(единичная матрица подпространства 3 х 3).
Для момента количества движения, равного 2, имеются матрицы 5x5; моменту,
