Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
&пт ->-----^ (1 + 4S" • Sm) . (67)
Предположим на минутку, что поправки, указанные многоточием, не
расходятся так сильно, как R, или они приблизительно одинаковы в обеих
сторонах приведенного выражения. Выражение, стоящее в круглых скобках, в
этом случае может быть факторизовано, и, сделав подстановку приведенного
выражения в уравнение (66), мы получим уравнение Гейзенберга - Дирака -
Ван-Флека для определения собственных значений энергии и собственной
спиновой функции х
- ~jui 2 (1 +4Sn-Sm) х = ?'х- (68)
П, 7П=бЛИЖ.
соседи
За исключением обычных аддитивных постоянных членов, левая сторона
уравнения (68) представляет собой обменный гамильтониан Гейзенберга между
ближайшими соседями. В настоящем случае обменный параметр есть интеграл
2м4, который можно сравнить с обменными параметрами Jl2 или /+2,
полученными в предыдущем разделе. Хотя, вообще говоря, они того же типа,
истинное числовое значение может отличаться. Как и /12, параметр щ может,
вообще говоря, быть и положительным и отрицательным. При водородных
атомных функциях и обычных межатомных расстояниях вычисленный обменный
параметр в нормальном случае бывает отрицательным, что приводит к
антиферромагнитному основному состоянию. Это находится в согласии с
наблюденным основным состоянием N атомов водорода (молекулярное
неферромагнитное твердое тело вблизи абсолютного нуля).
Хотя "катастрофа" предотвращена, все-таки не показано, что пренебрежение
"многоточием" оправдано. Оказывается, что перестановки, приводящие к
членам четвертого или более высокого порядка в операторах спина, иногда
бывают важны [13] 1). В следующем разделе мы обсудим метод, который
ставит значительно
1) Другие подходы описаны в следующем разделе и гл. 7. Экспериментальное
доказательство связи спинов, описываемой членами высокого порядка,
найдено в работах [14, 15].
МЕТОД ЛЁВДИНА И КАРРА
77
более скромные цели, нежели построение гамильтониана Гейзенберга, но
достигает решения этих ограниченных задач количественно без
неконтролируемых приближений. В гл. 7 (о магнетизме и магнонах в
металлах) будет видно, что гамильтониан Гейзенберга есть не что иное, как
случайное следствие теории возмущений низкого порядка, разработанной для
изоляторов. Мы покажем там, что перестановки трех частиц эквивалентны
пренебрежению поправками третьего и более высокого порядка теории
возмущений. Но прежде чем излагать эту вполне современную трактовку, нам
необходимо уделить внимание другим темам.
МЕТОД ЛЁВДИНА И КАРРА
В предыдущем разделе была показана и качественно обсуждена катастрофа
неортогональности в теории Гайтлера - Лондона. Здесь мы изложим
конструктивный метод для непосредственного вычисления собственных
значений гамильтониана Гайтлера - Лондона. Для любого интервала
параметров, в котором эта теория дает правильные результаты, эти решения
эквивалентны нахождению энергии 2^ наинижайших собственных состояний
которые затем должны быть описаны гамильтонианом Гейзенберга. Если
согласие хорошее, то это доказывает, что метод, предложенный в предыдущем
разделе, годится. Если параметры гамильтониана Гейзенберга не могут быть
выбраны так, чтобы воспроизвести правильные собственные значения, то это
свидетельствует о важности процессов обмена, включающих три или более
спина, или, иначе говоря, перестановки высшего порядка, указанные
многоточием в предыдущем разделе, не перераспределяются между
взаимодействием и перекрытием, а имеют физический смысл.
Одно из преимуществ метода, введенного Лёвдином и обсужденного Карром
[16, 17], заключается в том, что он оперирует с N X N рядами, а не с N\ X
N\ рядами пространственных перестановок. Используя этот метод, мы
получаем вариационную энергию двух очень важных состояний:
ферромагнитного состояния, для которого пространственная волновая функция
есть полностью антисимметричная детерминантная функция, и антиферромаг-
нитного состояния Нееля со спинами, направленными "вверх" и "вниз".
Начнем с ферромагнитного состояния, для которого многоэлектронная
волновая функция имеет вид
? = -1=-1/А'!
Ф1(П) фг(п) ф^г) фг(г2)
Ф1 (Гл)
Ф-v (П)
фл* {г у)
(69)
78
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
По определению для энергии этого состояния имеем
р I ?*<"ч' d3r,... d3rN
ферро~
Г амильтониан
можно взять в совершенно оощем виде
т{г^ + ъЪу{r-t, п),
i i=f= j
(70)
(71)
так что главная диагональ в детерминантной функции есть не что иное, как
собственная функция S6o с собственным значением е0. Без потери общности
положим е0 = 0, что определяет начало координат шкалы энергий. Таким
образом,
" _ vi j I У I2 U (ri)d3''l ¦¦¦ d3rX
ферро 2j Знаменатель
+22
i ф]
l\'?\*V(ri,r})d3rl...d3rn
Знаменатель
(72)
Знаменатель может быть вычислен следующим образом:
, г ФJ(r0 ... Ф1(г,) ...
Знаменатель = - 1 "J X
ф* (/"О фг (г2) ¦ • ¦ фл- (Гх)
Ф1 (''О
Ф* (П) ф! ('О Ф2 (Г2) ф! (Г2)
фN (Гх) ф! (Гх)
ф* (ГХ) ф2 (Л4) ф2 (Г2) ф2 (Г2)
d3r 1 . . =
dsTi ... ¦ (73)
Вторая форма "знаменателя" получается, если заметить, что каждый член в
