Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
же самому значению Я или Z, но с меньшими магнитными квантовыми числами т
= = I - 1, т = I - 2, ... Последовательность заканчивается, когда,
согласно уравнению (15в), т = - I.
Первая собственная функция т = I получается явным образом путем
интегрирования линейного дифференциального уравнения первого порядка
(24). Возьмем
(-Ц$ - Zctg0j ф = 0, (27)
разделим на (соэ0)-(ф) и, проинтегрировав, получим
ф = (sin' 9) (е1,ф) const. (28)
Остальные функции с тем же собственным значением I (правда,
без нормировочного множителя) могут быть найдены путем после-
довательного применения оператора L~ к этому решению. Если мы нормируем
эти функции и введем стандартные фазы, то полу-
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
91
чим известные сферические функции Y/,,,
X (sin 0)г1 eimv. (29)
Они представляют собой присоединенные полиномы Лежандра от (cos 0),
умноженные на е'тф и соответственно нормированные по поверхности
единичной сферы г). Эти функции образуют полную нормированную систему
(табл. 3.1).
Замечание: Дирак допускал существование где-нибудь во Вселенной
магнитного монополя. Хотя такие частицы никогда не были обнаружены на
Земле или при астрономических наблюдениях (что до сих пор всегда являлось
указанием на то, что магнитные диполи - это основной источник магнитных
полей), поиски этих неуловимых частиц продолжаются [3], и мы можем вслед
за Дираком допустить существование по меньшей мере одного такого
источника напряженности jx0. Магнитное поле такого полюса равно
что описывается векторным потенциалом в сферических координатах
Это можно проверить, используя соотношение V х А = Н, определяющее
векторный потенциал А. Мы знаем, что гамильтониан, как и любой другой
динамический оператор положительно или отрицательно заряженной частицы,
изменяется в магнитном поле в результате изменения импульса частицы:
(с - скорость света). Но обратите внимание, что А-> оо вдоль линии 0 = л
и притом таким образом, что интеграл вдоль любого контура, охватывающего
эту линию, имеет определенное значение
Частица, которая без монополя имела магнитное квантовое число
5) Фаза (-1) 1+т выбрана в соответствии с принятыми в работах [1] и [2]
обозначениями.
А = (Аг, А0, Аф), где АТ =-- Ав = 0 и Аф = tg .
Р-*Р±|А
92
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
т, теперь имеет магнитное квантовое число
т'=т±[е$А^^)=т±-^КГр0Ап.
Волновая функция по-прежнему должна быть однозначной, поэтому величина т!
должна быть целым числом, откуда следует, что ±е должна быть целым
числом, умноженным на "фундаментальный заряд"
%с
Ч = ~2^~ " чт0 и требовалось доказать.
Показав, что нет фундаментальной единицы длины, связанной с магнитным
монополем, Дирак, кроме того, доказал, что не может быть никакого
связанного состояния заряженных частиц в поле Н, так что основной
физический эффект, обусловленный монополем, состоит в квантовании заряда
[4].
ПОЧЕМУ I И т- ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Доказать, что все I и т - целые или полуцелые числа, можно очень просто.
Однако выбор между этими двумя возможностями не так-то прост.
Докажем первое положение, припомнив граничное условие (21), с помощью
которого достигается однозначность волновых функций на единичной сфере.
Это, однако, слишком строгое требование. В действительности, единственное
физическое требование заключается в том, что физически наблюдаемая
плотность вероятности должна быть однозначной в любом произвольном
состоянии. Иначе говоря, если мы возьмем любую произвольную линейную
комбинацию волновых функций фл (0, ф), то необходимо, чтобы
| 2 'фп (0, ф + 2л) |2 = [ 2 фгс (0, ф) Г- (30)
П П
Поскольку зависимость от угла ф содержится в множителе eim{v у волновых
функций с различными значениями яг, то единственный путь удовлетворить
равенству, не ограничивая общности, состоит в выборе всех т целыми или
полуцелыми числами. Очень просто проверить, что, допустив обе возможности
или сделав другой выбор т., можно построить плотность вероятности,
которая не удовлетворяет равенству (30).
Выбор между целыми и полуцелыми числами производится следующим образом.
Физические величины должны быть независимы от выбора системы координат
(будь то декартова, сферическая или какая-либо другая система координат)
и от выбора начала этой системы координат. Так, состояние системы,
соответствующее определенному значению импульса и описываемое, как
93
Таблица 3.1
I (tm) уim (нормировка на единичной сфере)
0
1 О
2 У л
tI~Yw еИФ
fY jyz=Y iyosQ
тг L V-Ш <* + *>*] = V-Щ^п2 ee2iv
Ц-Y -^:{x+iy)]=-V шcos 9 -sin 0е1ф
-Fi [ = /Sy2co.s20-sin20)
w [ - Ymr(*+iy)3 ]=- У_шsina 0е3!ф
w [ Ym:zix+iy)a] = l/-?cos0sin20e2i,P
^ -|/^j^-(5z2- r2) {x~-iy) J = - j/"(4 cos2 0 sin 9 - sin30)e14)
^ \_Y Ш (^2-3^2)4 = l/lfc(2cos30"3cos0siri20)
7Г [-ПГ /S <*+'У ~ж/1У'
y[~i Yyrz{x+iy)3\ = ~iY §- s^Qcos Qe3iv у/Г^(7:2-г2) (i + !'2/)2] =
= -|- 1/ - (6 sin2 0 cos2 0 - sin4 0) e-,w
о V Zk
- Y?{iz2-3r2) :ic*+iy) ]=-Y-ш-x
x (4 sin 0 cos3 0 - 3 cos 0 sin3 0) е,ф -А-(35з4-30г2;2 + 3г4) 1 =-X
