Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
(Sj-S^SySm) или (S? ¦ S,S" ¦ Sm) и т. д. (88)
для их описания. К счастью, они входят со все возрастающими степенями I
и, следовательно, ими можно пренебречь, если Z достаточно мало. Заметим,
что здесь нет "катастрофы": I должно быть мало по сравнению с V6, но не
по сравнению с 1/TV, чтобы гамиль-
6 Д. Маттис
82
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
тониан Гейзенберга с поправками (в худшем случае) типа, указанного в
(88), описывал энергию ферромагнитного состояния.
Мы обратимся к другому важному состоянию - антиферро-магнитной
конфигурации Нееля, характеризующейся так: каждый электрон со спином,
направленным вверх, окружается соседями со спинами, направленными вниз.
Заметим, что в силу ортогональности спиновых функций соседних электронов
пространственные и спиновые одноэлектронные волновые функции также
ортогональны и, следовательно, об отсутствии ортогональности
пространственных частей не приходится говорить. Затем независимо от того,
включают ли U (г) ж V (г, г') спины, обмен не существует, и энергия
непосредственно равна
Как мы увидим в гл. 6, энергия антиферромагнитного состояния составляет в
трехмерном случае около 25% истинной энергии антиферромагнетика в
основном состоянии. Следовательно, в пределах установленной точности и
ограниченной применимости схемы Гайтлера - Лондона можно, сравнив
выражения (87) и (89), определить, будет ли основное состояние
ферромагнитным или антиферромагнитным; нет необходимости вычислять
константы обмена или сначала вводить гамильтониан Гейзенберга.
Часто сталкиваются со следующими утверждениями: схема Гайтлера - Лондона
и теория зонной структуры в случае заполненных зон тождественны. Мы имеем
убедительный пример этого явления, поэтому уместно привести лишь краткие
замечания. Возвращаясь к волновым функциям, которые были определены
выражением (69), и взяв линейные комбинации столбцов (это не влияет на
значение детерминанта), получим
7?антпферро - 2 ^ Ф* (О ^ Ф* Ф"
i
+2 ^ I^ ^ I2 v (г'dsr dsr' ¦ (89)
ф/U (ri) (ri)
(гг) (г2)
(90)
(Ы
где
Фи (г)=^2вл-н"Ф,(г)
(91)
- нужная линейная комбинация. Это и есть волновая функция Блоха для
электрона в модели сильной связи. Функции (91)
ЛИТЕРАТУРА
83
ортогональны, хотя и ненормированы, так как
J Ч'к (О 4V {г) ^ = -^-22 е1(к_к')'н*е,к''ны ^ ф* (г) ф, (г) d3r =
i RtJ
= вк.к'2в1к'Н|^- (92>
Rtj
Это выражение позволяет вывести формулу (80) и другие результаты, о
которых говорилось в тексте. Этот метод был использован Такано [17] в
теории спиновых волн.
Задача 3. Допустим, что имеется простая кубическая структура с
квазипостоянными электронными волновыми функциями
Фу(г)=+(7">)-,/*1
когда г находится в пределах кубической ячейки (а3) с центром в точке Rj
или в любой из шести ближайших ячеек с центрами в R,- ± (а, 0, 0), . . .,
Rj ± (0, 0, а) и
ф^(г) = 0
в обратном случае. Пусть потенциал будет равным постоянной величине
U [т) = - А
F(r, г')= +Вб(г-г').
Используя эти функции для вычисления различных свойств методом Лёв-дина и
Карра, найдите:
а) Энергии ферро- и антиферромагнитного состояний. Определите, которая из
них лежит ниже. Как это зависит от величины А? от величины В?
б) В чисто гейзенберговской модели для простой кубической решетки имеется
3N связей и, следовательно,
7?антиферро 7?ферро = -ту NJ^2i
где R(о = а - расстояние, a Ji2 - обменный параметр между ближайшими
соседями. Используя вычисленные в части (а) энергии, получите Ji2. Затем
используйте определение (18) для вычисления Ji2. Объясните согласие (или
несогласие) между результатами вычислений для этих двух случаев.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dirac Р. А. М., Proc. Roy. Soc., 112А, 661 (1926).
2. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 38, 441 (1926).
3. В 1 a t t J., Weisskopf V., Theoretical Nuclear Physics, New York,
1952 (c.m. перевод: Блатт Дж., Вайскопф В., Теоретическая
ядерная физика, ИЛ, 1954).
4. Dirac Р. А. М., Proc. Roy. Soc., 123А, 714 (1929).
5. Van Vleck J. H., The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities,
Oxford, 1932.
6*
84
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
6. L i е b Е., М a t t i s D., неопубликованная работа.
7. Heiltler W.,London F., Zs. f. Phys., 44, 455 (1927).
8. M u 1 1 i k e n R. S., Phys. Rev., 43, 279 (1933).
9. Slater J. C., Quantum Theory of Molecules and Solids, New Yorks 1963.
10. I n g 1 i s D. R., Phys. Rev., 46, 135 (1934).
11. Herring C., Rev. Mod. Phys., 34, 631 (1962).
12. S 1 a t e г J. C., Phys. Rev., 35, 509 (1930).
13. Arai Т., Phys. Rev., 134, A824 (1964).
14. Harris E., Owen J., Phys. Rev. Letters, 11, 9 (1963).
15. R о d b e 1 1 D. S. et al., Phys. Rev. Letters, 11, 10 (1963),
16. Carr W. J., Phys. Rev., 92, 28 (1953).
17. T a k a n о F., Journ. Phys. Soc. Japan, 14, 348 (1959).
18. L 6 w d i n et al., Journ. Math Phys., 1, 461 (1960).
19. G i 1 b e r t T. L., Journ. Math. Phys., 3, 107 (1962).
20. Calais J., Appel K., Journ. Math. Phys., 5, 1001 (1964).
3
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Эта глава представляет собой введение в квантовую теорию момента
