Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
количества движения и состоит из краткого изложения некоторых строго
ограниченных вопросов. Первый: возможность выра-
жения операторов момента количества движения с помощью бозе-и ферми-
операторов. Второй: показать, что операторы орбитального момента, взятые
сами по себе, недостаточны и требуется ввести спиновые матрицы Паули. Все
приведенное в этой главе при первом чтении может быть опущено, хотя
знание операторного метода есть необходимое условие для чтения двух
последующих глав по квантовой теории магнонов. Момент количества движения
заряженной частицы пропорционален ее магнитному моменту; следовательно,
содержание этой главы представляет собой суть теории магнетизма.
ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ
При отсутствии любых внешних сил классический момент импульса (или момент
количества движения) точечной частицы имеет значение
L = г X р, (1)
а в квантовой теории, следовательно, аналогичная величина, называемая
орбитальным моментом, есть
L = rXy V, (2)
согласно обычному правилу введения оператора квантовомеханического
импульса: рх = hli (dldx) и т. д. Момент количества движения, связанный с
волновой функцией ф, может быть легко определен, если эта функция
сферически симметрична и, следовательно, не зависит от угловых
координат ф и0, а лишь от величины радиус-
вектора г. В этом случае можно доказать, что L = О, заметив, что
V\p(r) = u,.~\lp(r), (3)
где иг - единичный вектор в радиальном направлении, равный г/г, и,
следовательно,
И = т (г >- йг) -?¦ Ф (О = 0. (4)
86
3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Функции с нетривиальной угловой зависимостью описывают неисчезающий
орбитальный момент, хотя его величину не всегда легко вычислить, так как
это требует решения задачи на отыскание собственных значений. Более того,
три компоненты L - (Lx, Ly, Lz) не коммутируют друг с другом и,
следовательно, не могут быть определены одновременно. Короче говоря,
причина такова. Если А и В представляют собой числа, либо диагональные
матрицы или диагональные операторы некоего вида, то АВ = В А. Однако для
компонент L коммутатор (как всегда, обозначенный квадратными скобками)
имеет вид
[Lx, Ly] = LxLy-LyLx
h h f ( d d \ ( d d \ I d d \
)~(zts~x ж)х
= %'{хЖ-у-Б)
= ЯВг. (5)
Две другие компоненты получаются путем циклической перестановки х, у, z в
вышеприведенном выражении, и мы находим ряд соотношений, которые можно
записать в виде векторного произведения, используя обычное правило
раскрытия детерминанта:
их Uz
LxL = Lx Lv L% = Я L.
Lx Ly Вг
(6)
Хотя это правило получилось из определения момента количества движения
(2), фактически оно носит более общий характер, нежели это определение;
имеются операторы, которые удовлетворяют (6), но не определены выражением
(2). Поэтому важно следующее определение момента количества движения.
Векторный оператор представляет собой оператор истинного момента
количества движения (безразлично - орбитального, спинового или
обобщенного) только в том случае, если он удовлетворяет (6) или
эквивалентным выражениям (10)-(16).
Пример. Если L = (Lx, Ly, Lz) - момент количества движепия, то L' = (-
Lx, - Ly, - Lz) не является таковым. Это связано с тем, что классический
момент количества движения г х Р есть псевдовектор, что является
непосредственным следствием выражения (6).
Вернемся к орбитальному моменту. Если мы пользуемся явным представлением
оператора, данным в начале главы, то можем
ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ 87
выразить его в сферической системе координат, в которой г = (г sin 0 cos
ф, г sin 0 sin ф, rcos0) и компоненты L принимают вид
L = - - (7)
г i д ф ' ' '
L+ = ^i<P(w + i'Ctg0^) ' (8)
L-="e-^(-^ + ictg0 -jL) . (9)
Здесь удобнее для дальнейшего ввести операторы
L± = LX± iLy, (Ю)
но, если необходимо, можно выразить через них компоненты Lx и Ly
LX = ±-(L+ + L-) и L, = -^(L+-L-), (И)
что эквивалентно (10).
Однако операторы L± более употребительны; их называют операторами
рождения (+) и уничтожения (-) соответственно. Причину для таких названий
следует искать в соотношениях коммутации для этих операторов. Поскольку
представляется возможным вывести выражение для коммутаторов, используя
только выражение (6) и не прибегая к дифференциальной форме для Ьг и т.
д., приведенной выше, то следующие равенства справедливы для любых
моментов:
[ЬгЬ+] = ПЬ+ (12)
и
[Lz, L-] = -ЫЛ (13)
Взяв собственную функцию оператора Ьг с собственным значением т, т. е.
Ьгут = Ътут, применим обе стороны равенства (12) к этому выражению и
после приведения подобных членов получим
ьг {Ь+фт) = П{т+ 1) (L+фп,).
Таким образом, Ь+<рт есть собственная функция оператора Lz, принадлежащая
собственному значению т -)- 1. Аналогично можно показать, что функция
Ь~фт принадлежит собственному значению т - 1, откуда и происходит
терминология: операторы "рождения" и "уничтожения". Окончательный вид
правила коммутации для L±, которое можно вывести из выражения (6), таков:
[L\ L-] = 2i[Ly, LX] = 2%LZ. (14)
88 з. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
