Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
V42 Чз Г23 ) \rlb ric r2a r2c 1 r3a r3b) J
+ ^ ^3,-i ^з'-2 с?з^зфа (П) фЬ (rj) фа (Г2) фЬ (Г2) ф? (r3) >:
Г / e2 e2 e2 \
x L 1л^Г++
("2 р2 л2 ч / р2 р2 g2 л2 *э2 "2 \ И
- + - + - - + - + - + -+ - + - П • (47)
42 43 г23/ \Г1 Ь Г lc J-ga г2с /-За r3byj
Для этого мы воспользовались определением различных параметров (31) и для
простоты допустили, что все атомные функции вещественны и нормированы.
Попытаемся свести второе выражение к одному из интегралов в первом, чтобы
можно было произвести сравнение. Во-первых, члены с ВаЬ в (46) точно
сокращаются и остатку можно придать вид
~2 "^12 = ^ ^зЧ d3r2^-y^-----j (Pj2^2 Р^обм)" (48)
трактуя p12 как обычную электронную плотность ф" (г4) ф? (г2), а Р1206М -
как "плотность обмена" ф" (г4) фЬ (г^ ф" (г2) фь (г2) в очевидных
обозначениях.
Несколько простых манипуляций в интегралах для /+2 позволят получить,
наконец, желаемый результат:
Лг = J12 + 4^ег J d3rj с?3г2фгь (г2) • [ф" (гО фс (rfi-lyl (/Д] ( -L - J-
) .
1 (49)
Поправочным членом не обязательно пренебрегать по сравнению с самим
параметром обмена (см. задачу 2).
Задача 2. <ра (г) - невозмущенная Is волновая функция основного состояния
одного электрона, принадлежащего атому водорода в точке Ли;
Фь определяется соответственно. Вычислите I (Л"ь) и Jl2 (/), Д2 (I). Что
случится с параметром обмена при наличии третьего атома, возрастает он
или уменьшается? (Предположите, что Яаъ -у оо.) C-м. также уравнение (6)
из работы [10].
Наличие третьего атома в точке Вс, как мы определили, изменяет обменную
связь между спинами в точках Ва и Вь. Если атомы а и b находятся внутри
твердого тела, обменное взаимодействие между ними будет еще более
изменено и константы
72
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
молекулярного обмена Jl2 или /+2 окажутся просто бесполезными. Тем, кто
будет вычислять обменные параметры, необходимо учесть следующее
предупреждение: бессмысленно представлять, будто обмен даже между
подобными атомами мо>кно характеризовать универсальным параметром Jlz
(Biz), который можно вычислить на основе молекулярной модели, независимо
от того, в какой степени она совершенна. Его следует рассматривать как
параметр, зависящий также от всех других окружающих атомов даже в первом
порядке. Когда гамильтониан Гейзенберга [см. уравнение (1)] неприменим,
обменный параметр, конечно, теряет даже этот смысл, и обмен исчезает в
туманных концепциях и идеях.
[Последовательное применение схемы Гайтлера - Лондона приводит к
заключению, что обменный параметр оказывается положительным (т. е.
оказывается возможным ферромагнетизм) лишь при больших межатомных
расстояниях (при этом обменный параметр экспоненциально мал); однако, как
показал Херринг [11], сама схема Гайтлера - Лондона становится
асимптотически неприменимой при Rab > 50 межатомных расстояний. Таким
образом, если применим гамильтониан Гейзенберга и даже если может быть
определен обменный параметр и перекрытие мало, оказывается, что вычислить
правильно обменный параметр - все еще весьма не просто! Херринг предложил
любопытную возможность - метод вычисления обменных параметров в виде
поверхностных интегралов, нечто вроде вронскиана вместо объемных
интегралов перекрытия; для соответствующих объяснений читателю
рекомендуется обратиться к оригинальной работе.]
КАТАСТРОФА НЕОРТОГОНАЛЬНОСТИ
В задаче многих тел тех, кто e8N недостаточно продуманно разлагает в ряд
Тэйлора
egx = 1 4- gN + А- (gN)2 + . . . (50)
и пытается перейти к пределу N -*¦ сю, постигает то, что, мягко говоря,
называется катастрофой. Катастрофа неортогональности возникает вследствие
использования неортогональных орбиталей в схеме Гайтлера - Лондона тогда,
когда мы пытаемся методы, применяемые в задаче двух и трех тел, перенести
на бесконечную цепочку или трехмерное твердое тело. Эта трудность,
впервые указанная Слэтером [12] и Инглисом [10] (ныне катастрофа названа
в их честь), в течение многих лет считалась в принципе решенной. Однако
она намного усугубила путаницу и трудности задачи, а также мучения тех,
кто пытался понять обмен.
КАТАСТРОФА НЕОРТОГОНАЛЬНОСТИ
73
Обе матрицы-перекрытия и взаимодействия-TV! X ZV! ранга, хотя, как мы уже
говорили, не все собственные функции приемлемы, и лишь 2N переживут
процесс антисимметризации. Строчка в матрице перекрытия может включать
одну единицу, N членов порядка I2, N2 членов порядка i3 и т. д., и уже
больше нет вопроса: можем ли мы пренебречь I2 по сравнению с единицей или
I3 по сравнению с Z2? Скорее стоит вопрос: можем ли мы пренебречь N12 по
сравнению с единицей или N2l3 по сравнению с N12? Ответом будем
категорическое "НЕТ!" независимо от малости перекрытия. В этом разделе мы
приводим предварительный качественный интуитивный анализ, в результате
которого получается приблизительный вывод гамильтониана Гейзенберга.
Нецелесообразно записывать матрицу перекрытия или матрицу взаимодействия
в использованной ранее явной форме, необходим операторный формализм. Мы
