Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
соотношения коммутации и эрмитову природу эрмитовых операторов. Если это
преобразование, кроме того, еще сохраняет собственные значения / (т. е.
коммутирует с j), то оно точно соответствует вращению. В частности,
а*-> ^ e+(i/2) (а+у) cosyP^j а*-j- tY-") sin у р J а*,
а|-> - Г е<'/2Н"-у) sinр 1 а*+ Г е(*/2)(а+у) COs-i-pl а*,
J (70)
^ e~<i/2> (k+y) cos у p J at -j- | (v-а) sin у [5 "j a2,
аг -> - ^ e-(i/2) (tx-Y) sin _L p J aj _j_ ^ e-(i/2) (a+Y) C0S у |3 J d2
есть преобразование, которое приводит к результату, описанному уравнением
(67), если выразить компоненты J в представлении двух бозонов и вычислить
at->D (сфу) UiD'1 (офу).
Для комплексных углов преобразование не является унитарным: это
преобразование подобия, которое сохраняет соотношения коммутации, но не
сохраняет эрмитовость. Можно также представить унитарные преобразования
подобия, которые не сохраняют j
106 3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
и перепутывают операторы а с операторами а*. Такие преобразования
смешивают операторы моментов количества движения с гиперболическими
операторами К+, К~, К\ Они возникают, если включить компоненты К наряду с
компонентами J в D.
ЕЩЕ О СЛОЖЕНИИ МОМЕПТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Сложение спинового момента электрона с его механическим орбитальным
моментом, сложение орбитальных моментов или спиновых моментов двух
различных электронов и вообще спаривание двух или более моментов
количества движения различного происхождения требует более сложной
математической техники, нежели те простые преобразования, которые до сих
пор проводились. Здесь мы опишем, не вдаваясь в излишние подробности,
некоторые методы, предложенные Швингером для решения этих задач. Мы
изучим спаривание двух моментов количества движения, и может показаться,
что с помощью индукции можно воспользоваться этой теорией для сложения
произвольного числа моментов. Однако на практике это не совсем так, и
даже для задачи с тремя моментами следует поискать определенных
упрощений, чтобы задача была выполнимой.
Для описания двух моментов количества движения требуется четыре бозе-
частицы. Но с четырьмя бозе-операторами можно построить не только
компоненты Jt и J2; можно получить J = J4 + J2 и все соответствующие
гиперболические операторы. Изучая бозе-операторы и их собственные
функции, можно исследовать коэффициенты Клебша - Гордана, вращения в том
или другом пространстве момента количества движения и все другие
возможные интересующие нас объекты.
Бозе-операторы, относящиеся к моменту 1, обозначим через и аг, а
операторы, относящиеся к моменту 2,- через bt и Ь2. Любой оператор а
коммутирует с любым оператором Ь. Обозначения и терминология будут
приняты такие же, как и в (56)- (63). Это относится к обычным операторам,
компонентам J, и J2. Кроме того, требуются следующие новые операторы:
P-fta+b, 1~ = ftb+a, Г^ГЦь-ь), (71)
где
а+Ь = аХЬ1 + а%Ъ2 (72)
и т. д. в спинорном обозначении, и
К+ = ft (а*Ь2 - а2Ъ*), К = ft (ajft2- u2bAi К' = ft (jj -f- j2 -j- 1).
(73)
ЕЩЕ О СЛОЖЕНИИ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Щ7
Путем прямой подстановки данных выше определений можно про-
верить следующие соотношения:
J* = A+Jl+J\
= /*(/*-ft)+ (74а)
= Г(Г + П) + Г1+, (746)
= Kz{Kz-h)-K+K~, (74в)
= Kz{Kz + h)-К~К\ (7 Ат)
Используя определение Р [см. (71)] и то, что произведение 1+1~ в (74а)
есть неотрицательно определенный оператор (таковым является и /~/+),
можно непосредственно доказывать, что / (7 -f- 1) > >0'i - h) O'i - h -
!)¦ Выбор h>h (если /2 < ju то применяют выражения (74a) и (746)]
позволяет установить, что
]>\h - /i I- (75)
Аналогично, два соотношения, содержащие К [(74в) и (74г)], можно
использовать для доказательства неравенства
/CO'i-г/г) (76)
и, таким образом, установить "неравенство треугольников", впервые
введенное в обсуждение после (52) и в задаче 2.
Состояние, описываемое определенными собственными значениями jiTrii и
/2т2, отвечает волновой функции
|т-т,тч
7imtfiTnz)- -- -- и;. (ii)
V(/i + mi)! - (/2 + m2)! 02 -m2)l
Состояние с определенными значениями /, m, /t и /2 можно равным образом
характеризовать набором /, т, р, и v, причем
Ц = ii - /2 и v =/i-Ь/г + 1" (78)
и соответственно ввести функцию
I (79)
где р < / и v>/-f-l- Для /71 = / и v = /-f- 1 соответствующая волновая
функция есть
I //р/ +1) = , 10). (80)
У(/ + Р)!(/ -И)!
Применение спин-уничтожающих операторов дает волновые функции |/т?гр/-)-
1) и, наконец, для волновой функции в общем случае имеем
1МН=У^Щ^('П^-'|Ж + 1>. (81)
108 3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Внутреннее произведение этих волновых функций с | 71^4/2^2) [см. (77)]
методом Швингера дает коэффициенты Клебша -Гор-дана.
Метод бозе-операторов можно применить для подтверждения хорошо известных
результатов (например, для сферических функций) или для обнаружения
новых. Можно связать непрерывные представления, используя идентичность
операторов
a^(a?)|0) = -^(af)|0); (82)
drii
они необходимы для построения различных систем ортогональных полиномов.
