Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
спинов коммутируют
для всех компонент к, к' = х, у, z спиновых векторов.
Второе употребительное представление есть точный аналог картины спаренных
бозонов, но бозоны заменены фермионами. Вместо того чтобы обозначить
спаренные фермионы через 1, 2, мы обозначим их | и | для более наглядного
показа роли каждого оператора. Таким образом,
Это очень важное представление, соответствующее вторичному квантованию
электронов со спинами, и мы вернемся к этому в гл. 7.
Окончательное представление спинов Vz приводит нас непосредственно к
работе Иордана и Вигнера. Методика, которую мы обсудим, полезна в решении
одномерной задачи и используется в гл. 9 для рассмотрения двумерной
модели Изинга - важной проблемы в статистической теории магнетизма. Вот
последние по счету, но не по важности формулы:
и т. д. В конкретных задачах выбор индексов ? = 1, . . ., N имеет
решающий характер, потому что фазовые множители Qi очень осложняют
решение любой задачи, если нет способа их исключить. Но когда это
возможно, приведенное выше представление оказывается самым простым из
всех возможных, ибо только оно устанавливает одно-однозначное
соответствие между спиновыми и ферми-операторами.
[Si, S*] = 0 при Ьф]
причем соотношения антикоммутации имеют вид
{с') - тт Cj, m'} = 0,
{с '} = m< (m = t или t).
(95)
Sf-йс?Qi, Si = 7гQjCj и S\ = ^-(2ctci - i), (96)
где
(97a)
(976) (97b)
112 3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
СПИИ 1
Для спина 1 нет специальных представлений, за исключением того случая,
когда он относится к векторным полям, таким, например, как
электромагнитное поле. Однако представление Холстейна - Примакова можно
использовать после освобождения от иррациональности. Так, в физически
достижимой области п = 0, 1, 2, соотношение
является точным, и только для п>3 не имеет смысла, но это лежит вне
области справедливости этого частного представления. (В действительности,
для любого / можно найти полином порядка 2/, который имеет ту же
структуру, что и корень Холстейна - Примакова, но его очень трудно
построить для большого /. Более того, поскольку разложение корня в ряд
Тэйлора
асимптотически становится правильным в пределе / = оо, то этим часто
пользуются в приближенных теориях.)
Мы не оперировали с векторными полями, за исключением случая в задаче 6,
где подсказывалась мысль, что "внутренний спин" фотона равен единице.
Имеются веские доказательства, объясняющие, почему это так. Когда момент
количества движения производит бесконечно малое вращение координат, это
меняет не только аргумент векторного поля, как это получается при
воздействии на скалярное поле (например, на обычные волновые функции), но
и перемешивает между собой различные компоненты поля. Полный эффект можно
описать оператором
первый член которого относится к аргументу, а второй - к вращению
компонент векторного поля. Аналогичное выражение для двух других
декартовых компонент имеет результатом J = L + S. Вспомним, что J может
быть истинным моментом количества движения только в том случае, если
каждый из операторов L и S является таковым. Итак, исследуем этот новый
оператор момента количества движения
) = LZ + SZ,
(99)
S = ih (u* x , uy x , u* x ),
(100)
построенный так, чтобы действовать на векторные поля, такие, как
векторный потенциал А (г). Вычисляя S2 = S* + + SI,
ПОСТСКРИПТУМ
113
легко находим
52 = Й2( 2), (101)
и, следовательно, величина спина s = 1.
Амплитуды поля можно разложить по собственным функциям 5', введя
собственный сферический единичный вектор
1 - -
e±i = - (iuy ± и*) и e0=uz (102)
с собственными значениями
Szer = 7irer, г= - 1, 0, 1. (ЮЗ)
Эти выражения особенно полезны в задачах со сферической сим-
метрией, например в случае поля излучающего атома. Линейные комбинации
функций, имеющие определенное J и полное азимутальное квантовое число М,
называются векторными сферическими функциями:
3hiM (0. Ф) = 2 у1т (0, ф) ёг (Imlr IIIJM). (104)
771Г '
Кроме J и М, нужно определить только I сферических гармоник, так как мы
показали, что сферический единичный вектор инвариантно обладает моментом
количества движения, равным единице.
Векторные сферические функции образуют полный ортонор-мированный набор
для описания векторных полей. Нормировочный интеграл, включающий
скалярное произведение, имеет вид
2л л
S -г"
0 -Я
ПОСТСКРИПТУМ
Этим мы заканчиваем наше краткое введение в теорию момента количества
движения. Поскольку оно лишь незначительно совпадает со стандартным
подходом к этой теме, обычно принятым в книгах или в учебниках по теории
групп, то читатель, возможно, захочет углубить свои знания по этому
вопросу и изучить основополагающие работы в этой области [8, 9]. Он
найдет в других книгах особые методы для решения очень сложных задач,
включающих несколько частиц или несколько спинов. Они не часто
применяются к идеальной модели, разбираемой в этой
8 д. мвттие
\ dQ sin Q3jim (0, ф), Уj'i'M' (0. ф) = (105)
114 з. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
