Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маттис Д. -> "Теория магнетизма" -> 47

Теория магнетизма - Маттис Д.

Маттис Д. Теория магнетизма — М.: Мир, 1967. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyamagnetizma1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 148 >> Следующая

случая
]' - к = п и r = s = t. (12)
В старой квантовой теории последнее равенство для электронов не разрешено
согласно принципу Паули. Новая квантовая теория сверх того предполагает
рассматривать не Ч* (1, 2, 3), а ее анти-симметризованный аналог:
ЧА (1, 2, 3) = Ч (1, 2, 3) + Ч (2, 3, 1) + ? (3, 1,2)-
-?(1, 3, 2) -?(3, 2, 1)-V(1, 3, 2). (13)
АНТИСИММЕТРИЗАЦИЯ
119
Если функция, представляющая собой произведение, "нарушает" старый
принцип Паули, то это, как мы увидим, автоматически будет исправлено с
помощью антисимметризации, причем тождественно обращается в нуль. Это
показывает, что в новой механике электроны не могут нарушать принципа
Паули даже в произвольном состоянии, не говоря уже о собственных
состояниях, описываемых хорошими квантовыми числами.
Чтобы распространить эту методику на N частиц, необходимо выписать N1
членов. Но, согласно Слэтеру, мы обнаруживаем в (13) правила для
записывания детерминанта, т. е.
f j (o) Хт (ll) ¦ ¦ fj (r3) Xr (Is)
уСлэтер^ 1 D Т/3! /ft (о) Ъ (?i) .
tn (о) it (6i) • ¦ fn (r3) Xt (Is)
Детерминант для целей нормировки обычно делят на У N1, в данном случае на
|/ 3!.
Эта форма записи (14) обеспечивает не только симметрию распределения
вероятности (11), но и ее нормировку на единицу, если только функции /(г)
и %(?) ортонормированы.
Именно с помощью таких детерминантов, как (14), а не с помощью
произведений (10) образуется полный набор ортонорми-рованных волновых
функций системы трех электронов. Число таких линейно независимых
детерминантов всегда значительно меньше числа всех возможных
произведений, так как все состояния, которые не могут быть
антисимметризованы, исключаются.
АНТНСИММЕТРИЗАЦНН
Для понимания процесса антисимметризации полезно простое правило,
вытекающее из принципа Паули.
Возьмем функцию N переменных и произведем все TV! перестановок в ее
аргументах:
/(1, 2, 3, ..., N), /(2, 1.N), f{N, 3, 1....2), ..., (15)
где в самоочевидном обозначении j соответствует й переменной.
Предположим, что мы хотим построить полностью антисимметричную функцию,
используя функции /. Систематическая методика такова:
Определяем антисимметричную функцию по переменным 1 и 2
/(1, 2/3, ...) = /( 1, 2, 3, ...)-/(2, 1, 3, ...); (16)
косая черта обозначает, что функция антисимметризоваиа по отношению к
переменным, предшествующим черте. Затем по индукции
120
4. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
построим функцию, антисимметричную по переменным 1, 2 и 13: /(1,2, 3/4,
...) = / (1, 2/3, ...) - / (1, 3/2, ...)-/(3,2/1, ...)¦ (17) В общем виде
/(1, . .., р!р-\-\, ...) =/'-2^лр/'> (18)
3=1
где
/' = /(1.........- 1/JD, • • •)*
а символ р означает, что в аргументе должна быть произведена перестановка
переменных j и р. Процедуру можно продолжать при желании до тех пор, пока
р не совпадает с N.
Подобной же методикой могут быть построены полностью симметричные
функции, пригодные для описания бозонов. Для этого необходимо просто
заменить все знаки минус в правых частях (16)-(18) на знаки плюс.
Задача 1. Докажите, используя выражение (18), что полностью
антисимметричная функция получается суммированием
2 (-1)Р^/(1. 2 Л0 = /(1, 2, .... Л7)
по всем отдельным ДМ перестановкам всех N переменных.
Взяв другие комбинации перестановок, можно создать функции с более
сложными свойствами преобразований при перестановках различных
переменных. Но, к счастью, нам они не нужны; как мы уже говорили,
волновые функции фермионов должны быть полностью антисимметричны, а
волновые функции бозонов - полностью симметричны. Конечно, при условии,
что в волновую функцию мы обязательно включим в число переменных
"координату" спина, а также, возможно, и другие "координаты" (например,
изотопический спин, индекс зоны или все то, что может понадобиться для
полного описания частицы).
Начиная с функции, записанной в виде произведения координатных и спиновых
функций N электронов, скажем / (1) g (2) . . . ... /г (N), процедура
антисимметризации дает /V! членов, каждый из которых имеет тот же самый
знак (+ или -), что и соответствующий член в разложении детерминанта, в
котором / (1) g (2). . . есть произведение элементов главной диагонали.
Если исходная функция, записанная в виде произведения, нормирована, то
детерминант обычно нормируется путем деления на )''vV!. Но это в
действительности не нормирует функцию, разве только различные
перестановки окажутся ортогональными, как в том случае, когда
одноэлектронные функции в исходном произведении ортогональны. (Мы прежде
сталкивались с проблемой неортогональности, пытаясь распространить схему
Гайтлера - Лондона на задачу многих тел.)
СОСТОЯНИЯ ТРЕХ ЭЛЕКТРОНОВ
121
СОСТОЯНИЯ ТРЕХ ЭЛЕКТРОНОВ
Оставим пока в стороне тривиальную задачу о двух электронах и изучим три
электрона с помощью детерминантов Сдэтера. Наиболее общий вид
детерминанта (с точностью до нормировочной постоянной) таков:
При фиксированных фа, фь, фс для каждой спиновой функции имеются две
возможности. Это в общем случае приводит к различным детерминантам. Так
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 148 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed