Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
Но эта тема выходит за рамки нашего элементарного рассмотрения.
ДРУГИЕ РАССМОТРЕНИЯ
Первое формальное оправдание теории спиновых волн Блоха можно найти в
работе Холстейна и Примакова [6]. Блох, естественно, допустил, что
спиновые волны подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, но эти авторы
показали, каким образом спиновые операторы могут быть выражены через
бозе-операторы (см. также гл. 6). Представление Холстейна и Примакова
лучше всего принимать за особый случай представления спаренных бозонов
Швингера, т. е. как неприводимое представление в подпространстве с
фиксированным Вспомним выражение (62), которое мы перепишем так:
aZa2 = V^2j - Hi 2j - Hi- (83)
В подпространстве с фиксированным собственным значением / это выражение
можно рассматривать как произведение оператора а2 и сопряженного ему
диагонального оператора:
а2 = а*Н2;)1/2 j/l-; (84)
отсюда
J+ = Ьа* (2;')1/z |/1 -, J- = А (2/)1/г 1-^ а
И
J'- = h(n-j), (85)
опуская индекс (1) у а и п. Формализм был бы правилен, если бы п не
превышало 2/, но в пределах разрешенной области можно проверить, что
основные соотношения коммутации (12)-(16) удовлетворяются. [Представление
квадратного корня в виде
СПИН 1/2
109
рациональной функции рассматривается после уравнения (98), стр. 112.]
Если все, что требуется, это удовлетворить соотношениям коммутации и если
смягчить требование относительно того, чтобы J+ и J~ были эрмитово-
сопряженными операторами, то можно выполнить так называемое
преобразование подобия Малеева для нового набора операторов
/+ = а*(2/)1/г (l - -2L) R, /" = (2/)1/г аЪ. и J* = (n-/) Й. (86)
Явная выгода от уничтожения квадратного корня несколько уменьшается
усложнениями из-за пользования неунитарными преобразованиями.
Любая из формул (85) или (86) может быть преобразована без малейшей
трудности с помощью вращения системы координат, так как оно сохраняет /.
Неправильные вращения, например созданные гиперболическими операторами К,
не разрешены, так как они будут приводить к состояниям, не имеющим
физического смысла.
Любое из этих представлений особенно полезно тогда, когда j очень велико.
В связи с этим "квазиклассическим пределом" полезно привести результат
Эдмондса [1] - асимптотическую формулу для сферической функции при
предельно больших I. Он получил ее с помощью решения уравнения (23)
методом ВКБ; она имеет следующий вид:
У/т(0, Ф) AeimV e±(i/e)fdti^i")/(i-t") дЛя / " 1, (87)
(flSJ - х2) ' ^
где
А = const, а2 = 1 - '
? = -. и ? = cos0.
>/(г + 1)
Это выражение можно использовать для исследования квази-классического
предела. Другой предельно "квантовый" случай j =х/2" 1 заслуживает
отдельного исследования и будет рассматриваться в следующем разделе.
СПИН 1/2
Для спина Vz в предыдущих выражениях надо положить га=0, 1; представления
Холстейна - Примакова и Малеева идентичны в границах физически
разрешенного подпространства.
Задачи для систем N взаимодействующих спинов V2 могут быть легче
сформулированы с помощью одного из фермиевских
110 з. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
представлений. Это отодвигает нас почти на 40 лет назад, к исторической
статье Иордана и Вигнера по вторичному квантованию [7], в которой
антикоммутирующие ферми-операторы были явным образом построены из
спиновых матриц Паули. Сейчас представляет интерес как раз обратный
процесс.
Ферми-операторы, которые мы обозначим буквой с, представляют собой
систему антикдммутирующих операторов; например, для любого состояния |
Ф):
IФ) = -I Ф)
и, следовательно, необходимо обратить внимание на порядок, в котором
записаны операторы. Вакуум определяется точно так же, как и для спинов:
действие любого оператора уничтожения на волновую функцию вакуума должно
давать нуль
Ci|0) = 0, п, | 0) = 0 (i = l N). (88)
Это состояние, в котором операторы числа частиц
Щ=С*С1 (89).
все имеют нулевые собственные значения.
Соотношения антикоммутации обозначаются фигурными скобками и имеют вид
cicj + cjci = {cicj} = 0, (с?, с|} = 0, {си с*} = &и. (90)
Если в приведенных выше соотношениях положить i = то получим
c? = (c?)2 = 0, cfc, + Cjcf = 1. (91)
Эти результаты идентичны соотношениям для спиновых матриц Паули о±.
Только то, что спиновые матрицы Паули, относящиеся к различным частицам
(1ф]), коммутируют друг с другом, и отличает их от антикоммутирующих
ферми-операторов. Этому можно помочь, введя ряд, вообще говоря,
бесполезных операторов di и d* (число которых равно первоначальному
набору операторов с), антикоммутирующих с операторами с и друг с другом,
аналогично соотношениям (90). Как следствие, получим
{di^-d*)z = \ и {di -f d*, dj -f d*} = 0 при 1ф]\ (92)
так что в конце концов
¦St =йе* (<*! + <*?), ST = Ti{di + dt)ci и = (с?с, -у) (93)
есть искомый набор операторов спинов 1/2, которые коммутируют,. когда i Ф
/'.
СПИН Vi
111
Задача 7. Доказать, что различные введенные в этом разделе представления
удовлетворяют соотношениям (12)- (16). а также, что операторы различных
