Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Получим сначала уравнение для точки Ь3. Обозначим через р расстояние от точки L3 до тела S. Тогда і = —р, — р и из уравнения (2.7) получаем алгебраическое уравнение пятой степени относительно р:
р5 + (2 + р,)р4 + (2ц, + 1)р3 + (ц — 1)р2 + 2 (р, — 1)р +
+ {1 — 1=0. (2.10)
Чтобы получить уравнение для точки Ьъ положим і = 1 —
— ц, — р. Здесь теперь р есть расстояние от точки либрации до тела J. Из (2.7) получаем
р5 — (3 — р,)р4 + (3—2р,)р3 — jj-p3 + 2р,р — р, = 0. (2.11)
И, наконец, для получения уравнения, определяющего положение точки либрации Ь2, положим і = 1 — р, + р, где р — расстояние от точки L2 до тела /. Уравнение, определяющее р, имеет вид
р5 + (3 — ц)р4 + (3—2р,)р3 — р,р2 — 2р,р — и = 0.1 (2.12)
Как следует из вышеизложенного, каждое из уравнений
(2.10)—(2.12) имеет единственный положительный корень. При малых значениях р, значения корней можно найти в виде рядов. Значения координаты ?fc, определяющей положение прямолинейной точки либрации Lk, может быть легко вычислено (см., например, [22]). Получаются следующие разложения:
ь-Ч+Г+4-ttf-" (¦*-)*+•¦••
ь=1 + (тГ+4- (тГ - Ї (т-Г +............. <2-13>
Из (2.13) видно, как изменяется положение прямолинейных точек либрации, когда меньшая из двух конечных масс уменьшается. Точка Lx перемещается слева направо, приближаясь к своему предельному положению, совпадающему с телом J меньшей массы тг. Положение точки Ь2 также стремится совпасть с положением
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ
23
тела /, но это стремление происходит справа налево. Точка либрации L3 при уменьшении (х перемещается слева направо, стремясь к своему предельному положению, находящемуся на единичном расстоянии слева от тела большей массы т-у.
Уравнения (2.10)—(2.12) позволяют также оценить расстояния от точек либрации до тел S ж J при произвольных значениях ц. Обозначим через Fk (р) левые части уравнений (2.10)—(2.12), определяющих положения точек либрации Lk относительно тел S ж J. Имеют место соотношения
F, (0) = -|Х <0, F, (1 - и) = (1-2И) (1 - и + и2) > 0,
F2 (0) = -їх < 0, Ft (1) = 7 (1 - и) > 0, (2.14)
F3 (0) = |х - 1 <0, F3 (1) = 7|х > 0.
Соотношения (2.14) показывают, что расстояния точек либрации L2 ж L3 соответственно от тел J ж S при всех |х (0 <С |х ^ 1/2) лежат в интервале (0, 1). Точка либрации Lx расположена между центром масс тел S и J и телом J меньшей массы. Отметим еще очевидный факт, что точка либрации L± совпадает с центром масс тел
S ж J в том случае, когда их массы равны (ц = V2).
На рис. 3 представлены графики абсцисс lk (к — 1,2, 3), соответствующих точкам либрации Lh, в зависимости от ц. Эти графики получены с помощью численного решения уравнения (2.7) при произвольных jx из интервала (0, V2).
Рис. 3. Корни уравнения (2.7) как функции |Л.
Если в Солнечной системе учитывать только притяжение Солнца и одной из планет, то каждой планете будут соответствовать три прямолинейных точки либрации. Таким образом, тела бесконечно малой массы, попав в любую из этих точек либрации с нулевой относительной скоростью, все время двигалось бы па эллипсу, подобному эллипсу соответствующей планеты, и оставалось бы на прямой, проходящей через эту планету и Солнце. В реальной ситуации надо, конечно, учитывать и малые возмущения от других планет.
24
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
Таблица 1
Притягивающие тела И-10+6 Расстояние точки от тела S
S f J и и L,
Солнце Солнце Солнце Солнце Солнце Солнце Солнце Селнце Солнце Солнце Земля Меркурий Венера Земля Земля + Луна Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон Луна 0,0163399 0,2447738 0,3003433 0,3040429 0,0323834 95,3843512 28,5632676 4,3725405 5,2938063 0,2499994 1215,06683 0,996214 0,990684 0,99003 0,989989 0,995246 0,93332 0,955039 0,975773 0,974193 0,990619 0,849065 1,003795 1,009373 1,010037 1,010078 1,004769 1,069784 1,04635 1,024624 1,026258 1,00944 1,167833 1—0,0000001 1—0,00000142 1—0-,00000175 1—0,00000178 1—0,00000019 1—0,000556 1—0,000167 1—0,000026 1—0,000031 1—0,0000014 1—0,007088
Точки либрации для различных тел Солнечной системы представлены в табл. 1.
За единицу расстояния в табл. 1 принята длина соответствующего радиуса-вектора тела меньшей массы относительно тела S большей массы. Интересно отметить, что точки либрации и L2 для всех планет расположены значительно дальше, чем орбиты спутников этих планет. Например, для системы Солнце — Земля точки либрации и Ьг лежат от Земли на расстоянии, превосходящем расстояние Ъгежду Землей и Луной примерно в четыре раза.
§ 3. Об устойчивости точек либрации
В этом параграфе рассмотрим устойчивость точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел. Полное исследование устойчивости будет проведено в главах -7 и 8, а здесь мы остановимся только на доказательстве давно известного утвержде-
ния [22]: в круговой ограниченной задаче трех тел прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные — устойчивы в первом приближении, если отношение масс тел S и / достаточно мало; более точно, если выполнено следующее неравенство:
О <27fx (1 - jx) <1. (3.1)
