Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Задача трех тел в случае притяжения, определяемого ньютоновским законом, наиболее важна для космодинамики. Важнейшей разновидностью этой задачи является так называемая ограниченная задача трех тел, когда предполагается, что одно из тел имеет бесконечно малую массу т3 и, следовательно, не оказывает влияния на движение двух других тел (с массами т1 и т2). В ограниченной задаче трех тел конечные массы т1 и тг движутся по кеплеров-ским орбитам, определяемым задачей двух тел. Со многих точек зрения удобно изучать движение т3 в системе координат, связанной с тг и т2. В этой вращающейся системе координат упомянутым выше пяти точным решениям задачи трех тел соответствуют точки— положения равновесия. Точки, лежащие на прямой, проходящей через т± и т2, обозначают Lu Ьг и Ь3, а точки, образующие равносторонние треугольники с телами т1 и тщ, обозначают через L4 и Ь5.
Гравитационное и центробежное ускорения, воздействующие на тело, помещенное в Lt, уравновешиваются. Поэтому, если тело бесконечно малой массы т3 поместить в L; с нулевой (во вращающейся системе координат) скоростью, то оно останется неподвижным. Точки Li часто называют точками либрации или либрацион-ными центрами. Треугольные точки либрации, кроме того, иногда
10
ВВЕДЕНИЕ
называют лагранжевыми точками либрации или лагранжевыми периодическими решениями задачи трех тел.
Сначала, сразу после обнаружения точек либрации, казалось, что они представляют только теоретический интерес. Но открытие в 1906 году группы астероидов, движущихся в окрестности лагранжевых точек либрации системы Солнце — Юпитер, показало большую практическую ценность точек либрация для изучения движений космических тел в Солнечной системе. С тех пор точки либрации стали предметом пристального внимания в связи с необходимостью построения теории движения астероидов вблизи точек либрации L4 и Ьь.
В совсем недавнее время интерес к точкам либрации чрезвычайно возрос в связи с практическими потребностями космических исследований. Существуют проекты запуска искусственных спутников в окрестности точек либрации Солнечной системы и, в первую очередь, системы Земля — Луна. Все чаще подчеркивается важность необычных динамических свойств точек либрации с астро-динамрческой, геофизической и эксплуатационной точек зрения. Точки либрации все больше привлекают внимание инженеров в связи с возможными интересными практическими их применениями: для связи с Луной, встречи в окрестности Луны и планет, межпланетных перевозок, исследований магнитосферы Земли и для многих других целей.
В проблеме происхождения и эволюции Земли, Солнца и планет точки либрации тоже имеют большое значение. Так называемые «малые тела», интересующие ученых в связи с решением космологических вопросов, могут накапливаться в точках либрации. Так, например, в 1961 году появилось сообщение [100], принадлежащее Кордылевскому, об открытии «тусклых облакоподобных спутников» в окрестности треугольной точки либрации Ьъ системы Земля — Луна. Затем было опубликовано сообщение [101] об открытии такого же облака вблизи L4.
Задача о точках либрации имеет и самостоятельный общемеханический и математический интерес. Многочисленные исследования показали, что сами точки либрации и характер движений в их окрестности очень тесно связаны с общим характером движения в задаче трех тел, что крайне важно, так как в общем виде задача трех тел не проинтегрирована. С общетеоретической точки зрения важность задачи о точках либрации ограниченной задачи трех тел подчеркивается еще тем, что при решении ряда труднейших принципиальных вопросов о точках либрации были созданы новые качественные, аналитические и численные методы исследования сложных нелинейных гамильтоновых систем, которые применимы и применяются во многих других задачах механики и математики.
По-видимому, самыми важными вопросами небесной механики в задаче о точках либрации являются вопросы об устойчивости
ВВЕДЕНИЕ
И
самих точек либрации и о существовании, устойчивости и методах построения периодических (и условно-периодических) орбит в их окрестности. Некоторые из этих вопросов и смежные с ними задачи рассмотрены в настоящей кдиге. Книга содержит 14 глав и Дополнение.
Глава 1 является вводной. Здесь выводятся уравнения движения ограниченной задачи трех тел, во вращающейся системе координат находятся точки либрации L* (і — 1, 2, . . ., 5) и проводится анализ их устойчивости в линейном приближении. Изложение этих вопросов мало отличается от традиционного. В этой же главе даны таблицы, определяющие положение точек либрации в Солнечной системе, и приведены графики некоторых величин, характеризующих положение точек либрации при произвольных значениях параметра fx (О С fx = + пг2) ^ 1/2).
Во второй — пятой главах рассмотрены задачи теории гамильтоновых систем и ее приложений. Вторая глава посвящена линейным гамильтоновым системам. Приводятся результаты Ляпунова об устойчивости линейных гамильтоновых систем с постоянными или периодическими коэффициентами. Для устойчивых систем в случае простых корней характеристического уравнения строятся конструктивные алгоритмы приведения системы к нормальным координатам. Тут же приводится теорема Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем и рассматривается задача о параметрическом резонансе в гамильтоновых системах, содержащих малые периодические возмущения. В последнем параграфе второй главы получены области параметрического резонанса в первом приближении по малому параметру и приведены необходимые расчетные формулы.
