Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 11

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 106 >> Следующая

Пусть матрица Н в системе уравнений (1.1) постоянна. Для решения вопроса об устойчивости рассмотрим характеристическое уравнение
р (к) = det (IH - Ш2п) = 0. (1.3)
Покажем, что характеристический многочлен р (X) — четная функция X. Для этого рассмотрим следующую цепочку равенств:
р (к) = det (IH — ХЕ2п) = det (IH — КЕ2п)т = det (Нт1т — ^Е2та) =
= det (— НІ — ХЕ2п) = det (I2HI -J- МЕ2таІ) = det I (IH -J- XE2n) I = == det I det (IH -f 1E2„) det I = 1 - det (IH + XE2ti)- 1 = p(— X).
УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
31
Таким образом, уравнение (1.3) содержит только четные степени К. Поэтому, если у него есть корень к — а, имеющий отрицательную вещественную часть, то обязательно будет и корень А, = —а с положительной вещественной частью, а значит, система (1.1) (а вместе с ней и невозмущенное движение) неустойчива.
Мы получили, следовательно, такое условие устойчивости системы (1.1): для устойчивости системы (1.1) необходимо, Чтобь корни характеристического уравнения были чисто мнимыми. Это условие будет и достаточным, если дополнительно потребовать, чтобы матрица IH приводилась к диагональной форме [51],
Но будет ли при выполнении этих условий устойчиво невозмущенное движение — зависит от членов более высокого порядка в нелинейных уравнениях возмущенного движения.
Выполнимость необходимых и достаточных условий устойчи вости системы (1.1) гарантирована в том частном случае, когДа соответствующая функция Гамильтона Н знакоопределенна. Тогда, приняв ее за функцию Ляпунова V и учтя, что Н = const, на основании теоремы Ляпунова получим вывод об устойчивости системы (1.1). В этом случае характеристическое уравнение всегда имеет только чисто мнимые корни и независимо от их кратности матрица IH обязательно приводится к диагональной форме.
В случае знакоопределенности Н невозмущенное движение автономной гамильтоновой системы будет устойчивым и в строгой нелинейной постановке задачи. Поэтому для полного решения вопроса об устойчивости невозмущенного движения в этом случае достаточно рассмотрения линейной системы (1.1) или квадратичной части функции Гамильтона. Но уравнение (1.3) может иметь чисто мнимые корни и тогда, когда функция Гамильтона не будет знакоопределенной. Такой будет, например, следующая система дифференциальных уравнений первого приближения:
= (- 1)*+1<W*, -%*- == (- 1)4** (А = І, 2). (1.4)
Характеристическое уравнение системы (1.4) имеет две пары чисто мнимых корней ±іоґі и ±гог2. Соответствующая матрица ІН приводима к диагональной форме, а функция Гамильтона
Н = -у 01 (#1 4* х\)--2~ СГ2 (х\ + х\) {оІС 0)
не является знакоопределенной. В этом случае для решения задачи об устойчивости невозмущенного движения недостаточно рассмотрения линейной системы (1.4) и необходимо проводить анализ полной нелинейной системы уравнений возмущенного движения.
32
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
§ 2. Нормальная форма автономной системы линейных
гамильтоновых уравнений в случае простых
чисто мнимых корней характеристического уравнения
Продолжим исследование линейной системы дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что соответствующее ей характеристическое уравнение (1.3) имеет только простые чисто мнимые корни. Обозначим их через = iak, Xn+Ic = —iak (к = 1,2,... . . п). Знаки вещественных величин пока не фиксируем.
Они будут определены ниже. Найдем вещественное линейное каноническое преобразование xj—^yj (/ = 1, 2, . . ., 2п), приводящее систему (1.1) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (1.1) мы называем такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных, не связанных между собой осцилляторов:
П
Н= +!&*). (2.1)
!с=1
Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы
(1.1) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систем, где в качестве первого приближения берется обычно решение линейной задачи. Поэтому крайне желательно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (1.1) и будет нормальная форма.
Общая , задача об алгебраических свойствах линейных систем гамильтоновых дифференциальных уравнений исследована достаточно подробно [15, 28, 49, 90, 98, 109, 145,149,154, 157, 179—183]. Для систем с постоянными коэффициентами в работах [15, 28, 98] получены конструктивные методы нормализации. Мы рассмотрим задачу получения нормальной формы иначе, чем в упомянутых работах [15, 28, 98], и получим алгоритм нормализации, который будет весьма простым, так как его применение сводится только к нахождению собственных векторов матрицы IH.
Введем обозначение ут = (уг, . . уп, уп+1, . . ., у2п). Тогда, учитывая (2.1), получим, что нормальная форма линейной системы (1.1) запишется в виде следующей гамильтоновой системы уравнений:
-fa = 1Н*у, (2.2)
где Н* — вещественная диагональная матрица, диагональные
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed