Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
где в функции W, входящей в правую часть последнего равенства, величины г1 и г2 вычисляются по формулам
w)’+ "'+?¦
Подставив выражения (1.7) в первое уравнение системы (1.5), получим
Р’ _ 2п>__________________і___? = р 1 dW
® I \ О ПГ\С Л» ®
Аналогично преобразуются остальные уравнения системы (1.5). В результате получим следующую систему дифференциальных уравнений:
t"__2 л'_________-____Е = ^
® I <1 I о пг\а м ®
1 + е COS V 1 -(— е cos V ’
" I Ot' 1 1 //I Q\
Л + 2?------------3—-------------------- ті = -J—;----------------------------------------н- 7 (l-o)
1 1 -{- Є COS Vі 1 -f- e COS V ft) ' '
, e cos v 1 dTF
& ¦
1 + e COS V ® 1 -(- e COS V ’
где теперь
W = ^r + Jk' (°<i*<-rb f1-9»
= K(? + И)2 + Л2 + ?2, r2 = У (l + y, — l)2 + ri2-f ?2.
Если ввести функцию Q по формуле
= ~Y iff + ті2)----Y e cos v?2 + W,
то уравнения движения (1.8) запишутся в более компактной форме:
w, о , і да
тГ + 2?-= v * (1.10)
1 + е cos V 35
1 дй
1 + е cos V дц
і ай
1 + е cos v д?
20
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ггі. і
§ 2. Точки либрации — частные решения ограниченной задачи трех тел
Покажем, что уравнения (1.10) удовлетворяются некоторыми постоянными значениями координат Нехвила |, т), ?. Из (1.9) —
(1.10) сразу следует, что постоянное решение
1 = 1*, г\ = г\*, І = ?* (2.1)
возможно только тогда, когда ?* = 0, а |*и т)* удовлетворяют системе уравнений с двумя неизвестными
g, [х dW ?, -|— |х —1 dW р
гг дгх ' г2 дг2 ~~
г) dW ті dW
г-l drx r2 dr2 —
(2.2)
Система уравнений (2.2) эквивалентна совокупности двух систем уравнений:
^ = /о 3\
i + v т ^ + ц--і т g
гх дгх ' г2 дг2 ~ *’
dW _ _ _
drt ~~ г2 dr2 Гі’
? + |x ^ + їх — і
Гі 9r1 r2 9r2 —
(2.4)
Каждому решению систем (2.3) — (2.4) соответствует в системе координат ? равновесное решение уравнений движения (1.10). В системе координат точки S и / неподвижны и равновесные решения соответствуют таким частным движениям тела Р, когда
они вместе с телами S и / образу-
I ют некоторую неизменную конфи-
' / /
/
/
/
\
\
\
л*
\
/ \ гурацию.
\ Равновесные решения уравне-
\ ний Нехвила (1.10) часто назы-
\ 0 д вают точками либрации. Сущест-
\
О Lf /J Lz ? вуют только пять точек либрации.
/ Три из них, L]l, L2 и Z/s, лежат на
‘ / прямой, проходящей через S и/,
а две остальные, Li и Ь5, образу-^ ют с телами S и / равносторонние
Рис. 2. Прямолинейные и тре- треугольники. Схематически рас-
угольные точки либрации. положение точек либрации огра-
ниченной задачи трех тел показано на рис. 2. Точки либрации Llf L2, L3, и L4, L5 называют прямолинейными и треугольными точками либрации соответственно.
частные; решения ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ
2.1
Б абсолютной системе координат точки либрации соответствуют таким частным движениям в задаче трех тел, для которых три тела S, J и Р описывают подобные кеплеровские орбиты относительно их общего центра масс.
Найдем теперь точки либрации, т. е. решения систем уравнений
(2.3) и (2.4). Рассмотрим сначала систему (2.4). Подставив выражение для дWldr1 из первого уравнения системы (2.4) во второе уравнение, получим
dW /о сч
-а^ = - !"¦*> (2-5)
и тогда из первого уравнения следует, что
^- = _(1_ц)Г1. (2.6)
Воспользовавшись теперь выражением (1.9) для W, получим, что система уравнений (2.4) имеет единственное вещественное решение гх = г2 = 1. Это решение соответствует треугольным точкам либрации Li и Ls (см. рис. 2). Точка Li задается координатами (1 - 2|і)/2, /3/2, О, а точка Lb имеет координаты (1 — 2[х)/2г
— -]/"3/2, 0. Она расположена симметрично точке L4 относительно-оси
Прямолинейные точки либрации найдутся из второго уравнения системы (2.3). которое при г] = ? = 0 запишется в таком виде:
/(1, = 1-(1-|1)Л±^-|1Я+?^1=о. (2.7)
Функция /(?) непрерывна и конечна на всей вещественной оси,, кроме значений ?, равных +°°, —И- и ^ — И-> гДе она обращается в бесконечность. Вычислим производную функции /(?). Имеем
\ I О (\ 1?. + М і О.. 1? + |* — ¦ /О о\
_ = l + 2(l-|i) ^ + ti)1-+2|i a + • (2.8>
В каждом из трех интервалов
(—оо, —ц), (—ц, 1 — fi), (1 — fi, +оо), (2.9)
на которые числовая ось разбивается точками разрыва функции / (?), последняя монотонно возрастает, как это видно из вырат жения для производной (2.8). Учитывая еще тот факт, что при положительном є, стремящемся к нулю, имеют место следующие предельные соотношения:
lim /(--г) = — lim f (~ ^ — е) = lim / (— И- + є) =
= — lim/(l — ц — є) = lim/(l — ц + є) = —lim / = — oo,
получаем, что в каждом из интервалов (2.9) существует, и притом
22
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. І
только одно, решение 1 = 1* уравнения (2.7). Эти решения в дают три прямолинейные точки либрации. По сложившейся традиции точка либрации, лежащая в интервале (—оо, —ц), обозначается через L3, точка либрации, лежащая в интервале (—(х, 1 — (х), обозначается через Ьг и, наконец, точка либрации Ь2 лежит в интервале (1 — ц,, +оо).
Покажем, абсцисса каждой из прямолинейных точек либрации удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению пятой степени, которое для каждой из точек либрации записывается по-своему.
