Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть дифференциальные уравнения движения имеют вид
dx.
— = Xi (t, хг, . . ., хп) (і = 1, 2, .. ., п), (3.10>
где функции Xi, например, аналитичны относительно xlt . . ., хп и непрерывны по t в области
t>t0, (3.11),
Предположим, что Xt (t, 0, 0, . . ., 0) = 0. Тогда система (3.10)' допускает частное решение xt = 0 (і = 1, 2, . . ., п), которое будем называть невозмущенным. Пусть в момент времени t, равный ?0, Хі = xi0, и будем рассматривать движение при t t0. Тогда Xi (t) называется возмущенным движением, а уравнения (3.10) — уравнениями возмущенного движения.
Рассмотрим функцию V (t, х1г . хп), определенную в области (3.11). Пусть функция V дифференцируема. Тогда ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного.
28
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
движения запишется так:
/о лп\
dt — dt + 2-І дх{ V3’12'
І—1
Определение. Если функция V и ее производная (3.12) непрерывны и однозначны в области (3.11) и если они тождественно равны нулю при хг = . . . = хп = 0, то функцию V называют функцией Ляпунова.
Определение. Не зависящая от t функция Ляпунова V называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она при
I xi I < h (і = 1, 2, . . ., п),
где h — достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного знака и обращается в нуль только при х1 = х2 = . . . = хп = 0.
Определение. Функция Ляпунова V, явно зависящая от t, называется определенно-положительной, если она в области (3.11) при t0 достаточно большом и h достаточно малом удовлетворяет неравенству
V (t, хи . . ., хп) > W (хг, . . ., хп),
где W — определенно-положительная функция.
Определение. Функция V называется знакопостоянной, если в области (3.11) при t0 достаточно большом и h достаточно малом она принимает значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при х\ + • • . + ф 0.
Определение. Функция \, не являющаяся ни знакоопределенной, ни знакопостоянной, называется знакопеременной.
Определение. Говорят, что функция V (t, хг, ..., хп) допускает бесконечно малый высший предел, если для любого положительного числа є можно найти другое положительное число
б такое, что при всех значениях (t, хъ . . ., хп), удовлетворяющих неравенствам
t > *о> I | < б (г = 1, 2, . . ., п), будет выполняться неравенство
| V (t, хі, . . ., хп) | ^ є.
Теорема (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует знакоопределенная функция V, для которой производная в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с V, или тождественно обращается в нуль, то невозмущенное движение устойчиво.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
29
Теорема (теорема Ляпунова о неустойчивости). Если существует допускающая бесконечно малый высший предел функция
V (t, х±, . . ., хп), производная которой в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакоопределенная, а сама функция V в области (3.11) при t0 достаточно больших и h достаточно малых может принимать значения того же знака, что и производная, то невозмущенное движение неустойчиво.
Определение. Областью V > 0 называется одна из областей окрестности начала координат
I xt | < h,
которая ограничена поверхностью V = 0 и в которой функция V принимает только положительные значения.
Теорема (теорема Четаева о неустойчивости). Если существует функция V (t, х1г . . хп) такая, что
а) при сколь угодно больших t в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область V 0;
б) в области V 0 функция V ограничена;
в) в области V 0 производная dV/dt в силу уравнений возмущенного движения положительна, причем для всех значений t, х1г . . ., хп, связанных соотношением V (t, хъ . . ., хп) а, где а — какое-нибудь положительное число, выполняется неравенство dV/dt р, где В — тоже некоторое положительное число, то невозмущенное движение неустойчиво.
Определение. Функцию V, удовлетворяющую последней теореме, называют функцией Четаева.
ГЛАВА 2
ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения возмущенного движения, к рассмотрению которых приводит задача об устойчивости движения, как правило, нелинейны. Их исследование начинается обычно с анализа соответствующей системы уравнений первого приближения. Будем рассматривать только те случаи, когда дифференциальные уравнения первого приближения линейные.
Итак, пусть задана гамильтонова система линейных дифференциальных уравнений d х
-jj- = 1Нх>, хт = (х1г. .., xh, хп+1,..х2п). (1.1)
Переменные xk и хп+к — канонически сопряженные (хк — координаты, хп+і, — импульсы) в соответствующей механической задаче. Матрица I порядка 2п имеет вид
II 0 Еп||
1== -Е„ О (1"1 = Г = -1, 12=-Е2п, detl = l), (1.2)
где Efc — единичная матрица порядка к. Знаком «т» обозначена операция транспонирования матрицы. Через Н в системе уравнений (1.1) обозначена вещественная симметрическая матрица порядка 2п. Она либо постоянна, либо является непрерывной, 2я-периодической по t.
