Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 16

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 106 >> Следующая

44
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ, СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
е1^, где 1 к т. Аналогичная зависимость от е будет иметь место и для характеристических показателей. Отметим, что независимо от кратности корня р* при е = 0 корни уравнения (6.2) при е Ф 0, во всяком случае, непрерывны по е.
Теперь рассмотрим систему (1.1) при 8=0. Это будет система с постоянными коэффициентами. Пусть X — корень ее характеристического уравнения. Получим условия аналитичности мультипликаторов системы (1.1) при є ф 0.
Мультипликатор р характеристического уравнения (4.3) системы (1.1) с 2я-периодическими коэффициентами при 8 = 0 имеет вид р = ехр (2лХ). Согласно теореме Ляпунова — Пуанкаре (см. § 4), вместе с мультипликатором р=ехр (2лX) существует мультицликатор р = ехр (—2яА,). Отсюда получаем, что харак теристическое уравнение (4.3) при 8 = 0 имеет кратные корни в том и только в том случае когда выполняется соотношение
~ (^) Ї = 1, 2-, . . . , П', N =0, 1, 2, . . . ).
(6.3)
Таким образом, если корни X] (/ = 1,2,. . . , 2п) характеристического уравнения системы (1.1) при є -- 0 не связаны соотношениями (6.3), то ее мультипликаторы при є Ф 0 аналитичны относительно 8.
Отметим, что при некоторых дополнительных условиях С. Н. Шимановым показана [52] аналитичность мультипликаторов и при выполнении равенств (6.3).
Допустим, что характеристическое уравнение системы (1.1) при є = 0 имеет корень X) с отличной от нуля вещественной частью. Тогда, согласно § 1, оно имеет корень — Х} и, следовательно, у характеристического уравнения обязательно есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью. А значит, при малых значениях е, отличных от нуля, характеристическое уравнение (4.3) имеет корни с модулями, большими единицы. В этом случае задача о параметрическом резонансе, как видим, проста и неинтересна.
Пусть теперь при 8=0 характеристическое уравнение системы
(1.1) имеет только чисто мнимые корни + tafc (А; = 1, 2,. . . , п). Тогда уравнение (4.3) при є = 0 имеет только такие корни, модули которых равны единице. Изучим поведение мультипликаторов при малых е, отличных от нуля.
Сначала рассмотрим простейший случай, когда при є = 0 нет кратных мультипликаторов, т. е. когда, согласно (6.3), выполняются неравенства
<Ук±<УіФХ (М = 1,2, ..., щ N=0, ±1,±2,...). (6.4)
Ясно, что в этом случае, в силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и при достаточно малых е.
ЗАДАЧА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ
45
Кроме того, при достаточно малых є мультипликаторы не могут иметь модули, большие единицы. Этот вывод является простым следствием из теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении (4.3). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых значениях є они не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии.
Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (4.3) будет уравнением четвертого порядка. Пусть р/ (/ = 1,
2, 3, 4) — его корни при є = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 4). Пусть при Рис. 4. Простые и кратные мультипликато-малых є один из корней, Ры на единичной окружности,
например рх, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности матрицы X (2л; е) комплексно сопряженный корень РЇ1 необходимо сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем, то у корня рх не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова — Пуанкаре.
Таким образом, если при є = 0 отсутствуют кратные мультипликаторы или, что то же, выполняются условия (6.4), то гамильтонова система (1.1) при е Ф 0 устойчива, если величина | е | достаточно мала.
Если же при в = 0 существуют кратные мультипликаторы, расположенные в некоторой точке А единичной окружности (рис. 4), то при е^=0 они могут, вообще говоря, сойти с окружности. При этом они могут расположиться, как изображено на рис. 4, и симметрия мультипликаторов относительно единичной окружности не будет нарушена. Но смещение мультипликаторов с единичной окружности происходит не всегда [331, и, следовательно, в случае кратных мультипликаторов система (1.1) не обязательно неустойчива при е Ф 0. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Предположим, что характеристические показатели іак при е=0 таковы, что среди величин а* нет кратных. Тогда функцию
II0 в (6.1) при помощи линейной канонической замены переменных можно привести (см. § 2) к сумме гамильтонианов не связанных друг с другом осцилляторов, и функция Гамильтона (6.1) запишется в виде , ”
н = ~2Г (У* + !&») + е#! + г2Н2 + ..., (6.5)
ЇС—1
46
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
где Нх, Hz, ... — квадратичные формы новых переменных уг, У2,- • ¦ і Угп с непрерывными, 2я-периодическими по t коэффициентами. Очевидно, что задачи о параметрическом резонансе в старых и новых переменных эквивалентны. Но теперь для нас существенно, что величины (Тл в (6.4) имеют вполне определенный знак, полученный в процессе нормализапии Н0.
Имеет место теорема Крейна — Гельфанда — Лидского 197], которая в наших обозначениях формулируется так.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed