Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, как найти матрицу D. Подставляя А = LD в равенство (5.5) и учитывая, что DT = D, получаем
Теперь обозначим матрицу LT1L через F. Ее элементы fki вычисляются по формуле (2.9). Аналогично § 2 получаем, что матрица F — кососимметрическая.
Для дальнейшего анализа ее структуры докажем следующее утверждение: если произведение собственных чисел рк и рг сим-плектической матрицы X не равно единице, то соответствующие собственные векторы е* и et удовлетворяют равенству (є*, ІеІ) = 0.
Для доказательства сначала заметим, что по определению симметрической матрицы для любых векторов а и b имеет место равенство
Далее, используя симплектичность матрицы X, получаем (ІХа, ХЬ) = (1а, Ь). Подставив в последнее равенство а = е* и b = ег, получим
Но Хе,- = рfij (/ = 1,2,..., 2га), поэтому равенство (5.8) можно переписать так:]
DL’ILD =
(5.7)
(ІХа, Xb) = (ХтІХа, Ь).
(ІХЄ*, ХЄ;) — (ІЄ*, Є;).
(5.8)
(ркрі — 1) (Є*, Іег) = 0,
и если р*рг Ф 1, то необходимо, чтобы скалярное произведение (efr, 1ег) равнялось нулю.!
42
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
Таким образом, матрица LTIL записывается в виде (2.13), и элементы gklc матрицы G, входящей в (2.13), вычисляются по формулам (2.14). Из равенства (5.7) получаем теперь уравнение для нахождения элементов матрицы D
4ЙЇ* (г», Is*) = 1. J (5.9)
Последнее уравнение имеет действительное решение, если величина (г*, Isk) положительна, чего всегда можно добиться соответствующим выбором знака <Ук в функции Гамильтона (2.1). В самом деле, из уравнения Хе* = pkek имеем систему уравнений относительно действительной г* и мнимой s* частей вектора е*:
(X — cos 2жткЕ2п) г* + sin 2ncr,cs,c = О,
— sin 2nakrft -f- (X — cos 2ясг*Е2п) s* = 0. (5.10)
Система уравнений (5.10) не изменяется при одновременном изменении знака (Г* и знака компонент вектора г*. Знак же скалярного произведения (г*, Is*) изменяется на противоположный.
Таким образом, мы нашли матрицу D. Матрица нормализующего Преобразования (5.1) имеет вид
N = X(*)LDe-B'C.
После некоторых преобразований ее можно представить в виде произведения тцех вещественных матриц
N = X(?)PQ(?). (5.11)
В последней формуле через Р обозначена постоянная матрица, у которой к-й столбец есть вектор —2dftksk, а (п + к)-й столбец — вектор 2rf]ftrk (к = 1, 2, . . ., п). Матрица Q (t) имеет вид
«cos Kt — sin KtII sin Kt cos Kt I ’
ЗІП <Jjt COS <Jjt
sin Кt = sin зnt , cos Кt = cos зnt
§ 6. Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр
В конкретных механических задачах матрица II (t) системы
(1.1) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача
о параметрическом резонансе для системы (1.1) состоит в определении тех значений параметров, при которых характеристическое уравнение системы (1.1) имеет корни с модулями, большими единицы.
ЗАДАЧА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ
43
Эта задача подробно изучена в работах А. М. Ляпунова, М. Г. Крейна, В. А. Якубовича, В. М. Старжинского, И. М. Гель-фанда и В. Б. Лидского, Ю. Мозера и др. Полученные результаты изложены в монографии [97], где приведена и обширная библиография по устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами. Здесь мы ограничимся рассмотрением задачи о параметрическом резонансе для тех частных случаев, которые типичны для рассматриваемых далее конкретных задач небесной механики. Будем предполагать, что функция Гамильтона Н, соответствующая системе (1.1), имеет вид
Н = Н0 гНг + е2Я2 + . . . , (6.1)
где Н0, Нх . . . квадратичные формы переменных хг, х2, . . . ...,Х2п, причем коэффициенты формы if о постоянны, а коэффициенты форм Нъ Н2, ... — непрерывные, вещественные функции t с общим периодом 2я.
Прежде чем переходить к задаче о параметрическом резонансе, рассмотрим зависимость мультипликаторов (и характеристических показателей) от параметра е. Так как функция Гамильтона (6.1) предполагается аналитической относительно е, то правые части системы (1.1) также аналитичны. Тогда, как известно, любое решение х (t; е) системы (1.1), для которого начальное значение не зависит от е, будет аналитическим относительно е. В частности, аналитическими будут элементы xtj (t; є) фундаментальной матрицы решений X (?; є). Отсюда получаем следующую теорему А. М. Ляпунова: если правые части системы (1.1) аналитичны относительно е, то коэффициенты характеристического уравнения (4.3) будут аналитическими функциями е, причем область их аналитичности совпадает с областью аналитичности правых частей системы (1.1).
Но при этом мультипликаторы (и характеристические показатели) не обязательно аналитичны. В самом деле, рассмотрим характе ристическое уравнение (4.3):
/Кр) = ргп + аір2п-1 + --- + аір + 1 = 0, (6.2)
где коэффициенты ah — аналитические функции е. И пусть р* — какой-либо корень уравнения (6.2) при є = 0. Если он не является кратным и, следовательно, df (p*)/dp* =/=¦ 0, то на основании теоремы о неявной функции при достаточно малом е, отличном от нуля, существует единственный корень р (е), для которого р (0) = р*. При этом р (є) — аналитическая функция є и аналити-чен соответствующий характеристический показатель, В том же случае,] когда р*— кратный корень и, следовательно, df (p*)/dp* = = 0, задача о зависимости корней уравнения от е при є =/= 0 становится более сложной. Если корень р* имеет кратность, равную т, то уравнение (6.2) при г Ф 0 имеет [20] т корней, обращающихся при є = 0 в р*. П эти корни аналитичны относительно
