Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема (Флоке). Для системы (3.1) фундаментальная матрица решений X (t), нормированная условием X (0) = Еп, представима в виде
X(f) = Y(/)ei«, (3.2)
где матрица В — постоянная, a Y — непрерывно дифференцируемая, 2л-периодическая по t.
Для доказательства заметим прежде всего, что так как X (t) — фундаментальная матрица решений уравнения (3.1), то в силу
2*
36 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
2л-нериодичности матрицы A (t) фундаментальной будет также матрица X (t + 2я). А это значит, что справедливо равенство
X (* + 2я) = X (*) С, (3.3)
где С — постоянная матрица. Положив в (3.3) t = 0, получим, что С = X (2я). Таким образом,
Х(* + 2я) = Х(*)Х(2я).
Очевидно, что det X (2я) ф 0. Значит, X (2я), как всякая невырожденная матрица, представима [17] в виде
X (2я) = е*яВ. (3.4)
Теперь положим
Y (t) = X(t)e-*' (3.5)
и проверим, что Y (t) — 2я-периодическая матрица. Имеем
Y (/ + 2я) = X (t + 2я) е-2пв-в< = х (/) X (2я) е^яве~в‘ =
= X (/) X (2я) X-1 (2я) e-Bt = Y (t).
Таким образом, Y (і) 2я-периодична, а из (3.5), кроме того, видно, что она непрерывно дифференцируема. Из (3.5) следует еще, что фундаментальная матрица X (t) представима в виде (3.2). Это и доказывает теорему Флоке.
Следует отметить, что матрицы Y (t) и В, вообще говоря, комплексные [32].
Для дальнейшего введем некоторые определения. Собственные числа Xj матрицы В, т. е. корни уравнения
det (В — ХЕП) = 0, (3.6)
называются характеристическими показателями системы (3.1). Собственные числа рj матрицы X (2я), т. чорни уравнения
det (X (2я) — рЕ„) = 0, (3.7)
называются мультипликаторами системы (3.1).
Очевидно, что
р,- = (3.8)
или
Xj = -L. In р, = [In I ру I + і arg Py + і2кя] (3.9)
(к — 0, ±1» ±2, . . .).
Из последнего равенства видно, что значения характеристических показателей определяются по значениям мультипликаторов неоднозначно.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
37
Приведем еще без доказательства следующие два утверждения [51] о характеристическом уравнении (3.7): 1) характеристическое уравнение не зависит от выбора фундаментальной матрицы решений, 2) характеристическое уравнение не изменится, если систему (3.1) подвергнуть невырожденному линейному преобразованию с 2я-периодическими коэффициентами.
Теперь рассмотрим задачу о приводимости системы (3.1). Система (3.1) называется приводимой, если существует замена переменных
х = L (?) у (3.10)
такая, что система (3.1) преобразуется в систему с постоянными коэффициентами, а 2я-периодическая матрица L (і) — непрерывно дифференцируемая, ограниченная при всех t, и такими же свойствами обладает обратная матрица L-1 (t). Имеет место следующая теорема Ляпунова [49]: линейная система (3.1) с непрерывной периодической матрицей A (t) приводима.
Для доказательства теоремы Ляпунова примем за матрицу L (t) преобразования (3.10) матрицу Y (t), определенную равенством (3.5). Она непрерывно дифференцируема и ограничена при всех t вместе со своей обратной. Остается только показать, что преобразованная система будет системой с постоянными коэффициентами. В этом легко убедиться, подставив
х = X (?) е~шу (3.11)
в (3.1). Произведя выкладки, получим
4? = ВУ- (3-12)
Таким образом, характеристические показатели К} суть корни характеристического уравнения преобразованной системы (3.12).
Ясно, что задачи об устойчивости систем (3.1) и (3.12) эквивалентны. Поэтому из проведенных рассмотрений следует, что система (3.1) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы принадлежат замкнутому единичному кругу | р | 1,
причем в случае существования кратных мультипликаторов, лежащих окружности | р | = 1, матрица X (2я) приводится к диагональной форме.
§ 4. Устойчивость линейных гамильтоновых систем
с периодическими коэффициентами
Рассмотрим задачу об устойчивости гамильтоновой системы (1.1). Считаем, что Н — непрерывная, 2я-периодическая по t, вещественная симметрическая матрица. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфи-
38 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ, СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
ческих особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Несколько ниже мы сформулируем и докажем эту теорему, а предварительно рассмотрим так называемые возвратные уравнения.
Уравнение
/ (z) == a0zn + a1zn_1 + . . . + ап = 0 (а„ ф 0, z = х + iy)
(4.1)
называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от крайних членов, равны между собой, т. е. в записи (4.1)
ajj = Яп-к.
Для возвратного уравнения справедливо тождество
/ (4~) = 7^(z) 0). (4.2)
и, наоборот, если выполнено (4.2), то уравнение (4.1) возвратное. Из (4.2) следует, что возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет своим корнем число Z = —1. Если га — четное число, то при помощи подстановки
. 1
w — z А----
1 Z
п
возвратное уравнение сводится к уравнению степени у относительно W.
Имеют место следующие легко проверяемые [21] свойства корней возвратного уравнения: если у уравнения есть корень z — 1, то кратность его четная; если есть корень z = —1, то его кратность четная при четном п и нечетная при нечетном га; если уравнение имеет корень z^ Ф ± 1, то оно имеет также и взаимно обрат-
