Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + ik таковы, что число кк будет целым при произвольном целом к ;> 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости.
В главе 4 исследована устойчивость автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Здесь основное внимание
12
ВВЕДЕНИЕ
уделяется тем критическим случаям, когда неприменима известная теорема Арнольда — Мозера [72]. В случае разонансов третьего и четвертого порядков (когда частоты линеаризованной системы связаны соотношениями = 2со2 и % = Зсо2 соответственно) получены условия устойчивости и неустойчивости. При отсутствии резонансов до порядка 2к включительно получено утверждение об устойчивости, обобщающее теорему Арнольда — Мозера на случай, когда при учете в разложении функции Гамильтона членов до порядка 2к — 1 в системе имеется вырождение, снимаемое учетом членов 2&-го порядка. Здесь же в четвертой главе рассмотрена задача об устойчивости в случае кратных частот (о»! = со2). Получены условия неустойчивости и формальной устойчивости. В конце главы приведены расчетные формулы, необходимые для применения полученных результатов в конкретных механических задачах.
Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых систем. Здесь для 2я-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при помощи теоремы Четаева о неустойчивости доказаны утверждения о неустойчивости при наличии резонансов третьего и четвертого порядков и рассмотрены различные аспекты задачи об устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда по устойчивости для большинства начальных данных, формулируется и доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости гамильтоновых систем, рассматриваются основные результаты исследований Нехорошева об оценке скорости диффузии Арнольда [78—81] в многомерных гамильтоновых системах, близких к интегрируемым.
Для практического применения полученных результатов нужно иметь эффективные способы нахождения нормальной формы функции Гамильтона. Нахождение нормальной формы в неавтономном случае особенно затруднено. Если, например, воспользоваться классическим преобразованием Биркгофа, то для нахождения соответствующей производящей функции придется строить периодические решения некоторой системы дифференциальных уравнений. Необходимые при этом вычисления весьма громоздки.
В главе 6 предлагается способ нормализации, отличный от классического и основанный на применении к 2я-периодической по t гамильтоновой системе метода точечных отображений. При нахождении точечного отображения используется тот факт, что преобразование фазового пространства, осуществляемое движениями гамильтоновой системы, является каноническим и находится не само отображение, а его производящая функция S, удовлетворяющая уравнению Гамильтона — Якоби. При нахождении коэффициентов производящей функции, конечно, нужно проинтегрировать от t =s О до t = 2я некоторую систему обыкновенных дифференциаль-
ВВЕДЕНИЕ
13
ных уравнений, но с фиксированными (нулевыми) начальными условиями. После получения функции S вводятся такие координаты, в которых она записывается в простейшей (нормальной) форме. А затем по нормальной форме функции S находится нормальная форма соответствующей функции Гамильтона.
В главе 6 также рассмотрены резонансные случаи и для резонансов третьего и четвертого порядков доказаны утверждения
о неустойчивости неподвижных точек точечных отображений, задаваемых периодическими по времени гамильтоновыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательства основаны на перенесенной здесь на точечные отображения теореме Че-таева о неустойчивости.
В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра ц, при которых имеет место неустойчивость. Эти значения Ці и |л2 соответствуют резонансам ©і = 2со2 и ©! — Зсо2 между частотами линейной системы.
