Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 12

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 106 >> Следующая

НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ
33
элементы которой определены равенствами h*k = ht+k, n+/c = ок
(к = 1, 2, . . п). Переход от переменных х к переменным у
зададим с помощью матрицы А в виде равенства
х = Ау. (2.3)
Из (1.1) и (2.2)—(2.3) получаем, что матрица А должна удовлетворять следующему матричному уравнению:
AIH* = IHA. (2.4)
Кроме того, для каноничности преобразования (2.3) матрицу А ищем симплектической [16], т. е. она должна удовлетворять еще одному матричному уравнению
ATIA = I. (2.5)
Решение матричного уравнения (2.4) не единственно. Чтобы найти нормализующее преобразование, надо из бесчисленного множества решений матричного уравнения (2.4) выбрать хотя бы одно вещественное, удовлетворяющее уравнению (2.5).
Решение А уравнения (2.4) будем искать в виде А = ВС, где матрица С определена равенством
iEn Е„
С II — iEn Е,
(2.6)
Подставив в уравнение (2.4) вместо А его выражение через В и С, получим следующее уравнение для нахождения матрицы В:
BD = ІНВ, (2.7)
где D — диагональная форма матрицы ІН. Для ее диагональных элементов имеют место равенства dkli = — dn+!it п+к = iak (ft = 1, 2, . . ., п). Таким образом, теперь надо найти матрицу В, приводящую матрицу IH исходной системы уравнений (1.1) к диагональной форме. Она строится следующим образом [171. Ее столбцами должны быть собственные векторы матрицы IH. Именно, пусть тп-й столбец матрицы В будет собственным вектором ет, соответствующим собственному числу j'(Tm, а (п + т)-й столбец будет вектором en+m) соответствующим собственному числу A,m+n — кjm (тп — 1, 2, . . ., п).
Собственные векторы определяются с точностью до постоянного множителя. Примем этот множитель вещественным и одинаковым для векторов ет и еп+т. Кроме того, соответствующие компоненты этих векторов выберем комплексно сопряженными. Такой выбор собственных векторов обеспечивает вещественность матрицы А. Произвольные множители собственных векторов определяются из условия их нормировки, которое ниже будет получено из условия (2.5) каноничности преобразования (2.3).
2 А. П. Маркеев
34
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
Подставив выражение А = ВС в уравнение (2.5), получим
С^В’ІВС = I. (2.8)
Рассмотрим подробно матрицу ВТ1В, которую для краткости обозначим через F. Элемент fn этой матрицы, как нетрудно проверить, равняется скалярному произведению векторов ек и Iej:
fn = (еь 1ег)- (2-9)
Но так как для любых двух векторов а и b справедливо равенство
(а, 1Ь) = - (1а, Ь), (2.10)
то отсюда следует, что матрица F — кососимметрическая. Рас-
смотрим дальше структуру матрицы F. Докажем, что }к1 = 0, если | I — к ( ф п.
Для доказательства рассмотрим очевидное равенство
(е*,ФНв,) = (е*,|НРег). [(2.11)
Перепишем это равенство, преобразуя его левую и правую части. Имеем
(е*, 12Не,) = (ITHTek, 1ег),
(е*, ИНег) = — (IHe/t, 1ег),
(ejt, 1Я,гег) = — (Xjfiic, let).
Последнее равенство можно переписать в виде
(К + '^г)/м = 0. (2.12)
Так как согласно упорядочению собственных чисел, введенному при построении матрицы В, величина А* + А,г = 0 только в случае | I — к | = п, то из (2.12) следует, что /лг = 0, если \1 — к | ф п. Таким образом, матрица F имеет такую структуру:
F = II ° °
о
(2.13)
где G — диагональная матрица порядка га с элементами gjiji = (ел, Ien+Jt). Ни один из элементов gjui не равняется нулю, так как в противном случае определитель матрицы F равнялся бы нулю. Но
det F — det Вт det I det В = (det В)2 ф 0,
так как матрица В составлена из собственных векторов, соответствующих различным собственным числам матрицы IH.
Пусть rtHst — действительная и мнимая части собственного вектора екг соответствующего собственному числу Хц. Тогда, учитывая комплексную сопряженность соответствующих компонент
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
35
векторов ек и еп+)с, получим для элементов матрицы G такие выражения:
ёп = — 2i (тк, Isk) (к = 1, 2,..., п). (2-14)
Теперь из равенства (2.8) получим такое условие, обеспечивающее симплектичность матрицы А:
4(r*,Is*) = l. (2.15)
Равенство (2.15) является, с одной стороны, условием нормировки собственного вектора е*, а с другой-— условием для выбора знака ак в функции Гамильтона (2.1). Действительно, приравняв в уравнении Ше^ = іакек действительную и мнимую части, получим такую систему уравнений для тк и s*:
тг* = — aksk, IHsk = актк. (2.16)
При одновременном изменении знаков ак и компонент вектора rft система уравнений (2.16) не изменяется. Знак же скалярного произведения (гь Is*) изменяется на противоположный. Поэтому
равенству (2.15) можно всегда удовлетворить выбором знака ак
в гамильтониане (2.1) и соответствующей нормировкой собственного вектора ск.
Произведя некоторые вычисления, получим, что симплектиче-ская матрица А нормализующего преобразования невырожденная, вещественная и к-м ее столбцом будет вектор —2sk, а (п + к)-м — вектор 2гк.
§ 3. Общие сведения о линейных системах с периодическими коэффициентами
Рассмотрим линейную систему
= A (t)x, хт = {хъ . .., хп), (3.1)
где А (t)—непрерывная, 2я-периодическая по t матрица. Докажем, следуя [21], теорему (^структуре общего решения системы (3.1).
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed