Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
При е — 0 уравнения возмущенного движения, линеаризованные в окрестности прямолинейных точек либрации (к = 1, 2, 3), имеют следующий вид:
V - 2V - (1 + 2ак)% = О, г)" + 2Г - (1 - а*)т| = 0, (3.2)
Г + = О,
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
25
где
1-м- _i_ JL
(3.3)
аг3 ' г3 Г1 2
Гї
Г1 = Uk Ч- И- N ГаН&с + И. — 1| (А = 1,2,3).
А линейные уравнения, соответствующие треугольным точкам либрации Lk, запишутся так:
І» _ 2т)' -*±. I - (- 1)* 1р (1 - 2ц) т| = О, (А = 4, 5).
г," + 26' - л _ (_ i)*lp (1 _ 2ц) I = 0, (3.4)
Г + I = О
Будем, пользоваться следующими теоремами Ляпунова об устойчивости по первому приближению [49], которые приводим здесь без доказательства.
Теорема 1. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один с положительными вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.
Теорема 2. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю, то члены высших порядков в уравнениях возмущенного движения можно выбрать так, чтобы получить по желанию как устойчивость, так и неустойчивость.
Характеристическое уравнение системы первого приближения
(3.2) распадается на два уравнения: одно квадратное, соответствующее пространственной переменной ?, а другое биквадратное, соответствующее переменным I, Г].
Квадратное уравнение записывается в виде
Я* + ак = 0 (3.5)
и имеет пару ЧИСТО МНИиит корней ± І V так как величина а^ положительна (см. (3.3)).
Биквадратное уравнение записывается в виде равенства нулю определителя второго порядка
W-(l+2afc) -2Ь
21 № — (1— ик) '
Раскрывая этот определитель, получаем
А.4 -г)- (2 — ак)^2 "Ь (1 — ak) (1 “Ь 2в)с) = 0 (Л = 1, 2, 3). («3-6)
26
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
Легко показать, что уравнение (3.6) для каждой точки либрации Ьъ L3 и L3 имеет два вещественных и два чисто мнимых корня.
В самом деле, чтобы показать это, достаточно убедиться в том, что величина 1 — ак для каждого к — 1,2 и 3 отрицательна.
Для точки Lx это сразу следует из (3.3), так как 0 < Г; < 1 и
О <r2 < 1.
Для точки Ь2 выразим, следуя [89], ц через г2 из уравнения (2.12):
4 + Н + 3 г»
Подставив это выражение в разность 1 — ак и учтя, что в рассматриваемом случае = 1 + г2, получим
1-а = 1)(г2 + 3г2 + 3) ,о 7ч
2 ('2 + 1)(г4 + 2;3+г2+2г2 + 1) ’
Эта величина отрицательна, так как здесь r2 < 1 (см. предыдущий параграф).
Для точки L3 можно воспользоваться уравнением (2.10) и, учтя, что в этом случае г2 = 1 + rlf для разности 1 — а3 получим выражение, аналогичное (3.7), в котором надо только г2 заменить на гх. А так как здесь гг < 1, то величина 1 — а3 для точки L3 будет отрицательна.
Таким образом, уравнение (3.6), рассматриваемое как квадратное относительно А,2, имеет один положительный корень и один отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации ЬК (к = 1, 2, 3) характеристическое уравнение (3.6) имеет четыре корня вида ±а, ±ф, где аир — вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, следует неустойчивость прямолинейных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел.
Характеристическое уравнение системы первого приближения
(3.4) для треугольных точек либрации L4 и Ьъ тоже распадается на квадратное, соответствующее переменной ? и имеющее два чисто мнимых корня ±г, и биквадратное
Я4 + Р+^1ц(1-|г) = 0, (3.8)
соответствующее переменным і, Г;.
Если
27ц. (1 - ц) > 1, (3.9)
то уравнение (3.8) имеет две пары комплексных корней и, следовательно, два из этих четырех корней заведомо будут иметь положи-
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
27
тельные вещественные части. Поэтому, согласно теореме Ляпунова, при выполнении условия (3.9) треугольные точки либрации неустойчивы.
Если же выполнено неравенство 0 <27ц (1 — ц) <1, то уравнение (3.8) имеет четыре различных чисто мнимых корпя и точки либрации устойчивы в первом приближении. Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строгое решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения.
Если, наконец, 27ц (1 — ц) = 1, то уравнение (3.8) имеет-две пары кратных чисто мнимых корней + і У"2/2. И в этом случае уже нет устойчивости в линейном приближении, так как (см., например, [89]) общее решение системы (3.4) первого приближения содержит неограниченно растущие со временем слагаемые вида
. /2 У2 .т, „ „ -
v sin -bj— v и v cos v. В нелинейной задаче, однако, точки либ-
рации могут стать устойчивыми.
Случаи, когда задача об устойчивости гамильтоновых систем не решается линейным приближением, будут исследованы в последующих главах. При исследовании мы часто будем использовать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости движения. Приведем здесь некоторые определения и сформулируем необходимые в дальнейшем теоремы. Доказательство этих теорем можно найти, например, в [51, 95].
