Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Остальная часть главы 13 посвящена рассмотрению задачи .о существовании и устойчивости периодических движений вблизи Li с учетом солнечных возмущений. Изложение опирается в основном на аналитические исследования, проведенные Брэквилом и Принг-лем [106], Шехтером [170] и Кэмилом [144]. Показано, что во вращающейся системе координат существуют устойчивые периодические орбиты; их форма близка к эллипсу с полуосями 145 ООО км и 71 ООО км, а период движения приблизительно равен синодическому месяцу (29,53 сутп).
В главе 14 изложены основы теории пассивного движения космического аппарата в окрестности прямолинейной точки либрации L2 системы Земля—Луна. Сначала дается подробный вывод уравнений движения в виде, удобном для применения асимптотических методов исследования, приводятся оценки сил, действующих на космический аппарат, и находятся амплитуды вынужденных колебаний космического аппарата вблизи L2, обусловленных гравита-
16
ВВЕДЕНИЕ
ционными солнечными возмущениями и силами светового давления. Затем в качестве модели для описания движения космического аппарата принимается пространственная эллиптическая ограниченная задача трех тел Земля — Луна — космический аппарат и при помощи преобразования Биркгофа с использованием метода малого параметра построена приближенная теория движения космического аппарата вблизи Ь2. Формулы этой теории применены затем в задаче, учитывающей влияние Солнца. В последнем параграфе главы 14 даны оценки точности построенной теории.
В Дополнении на основе работ Ю. В. Батракова [6], В. К. Абалакина [1] и С. Г. Журавлева 125, 184, 185] рассмотрены точки либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида.
ГЛАВА I
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Уравнения движения ограниченной задачи трех тел
Пусть mi, т2 и т3 — массы трех материальных точек S, J и Р, движущихся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона. Будем считать, что т,\ и тп2 — конечные массы (гщ т2), а массу тя предположим малой по сравнению с массами и т2. Из-за малости массы тела Р его влиянием на движение тел S и / можно пренебречь и, таким образом, мы придем к ограниченной задаче трех тел, которая заключается в исследовании движения тела Р бесконечно малой массы под действием притяжения тел S и J, массы которых конечны.
Движение тела J относительно тела S определяется из задачи двух тел. Пусть г — расстояние между телами S и /, р и е — параметр и эксцентриситет их кеплеровской орбиты, v — истинная аномалия, с — константа интеграла площадей и / — гравитационная постоянная. Тогда
г= Г+fcosv ’ c^fim. + m^p, -g- = . (1.1)
В зависимости от величины эксцентриситета можно различать следующие варианты задачи трех тел: гиперболическую ограниченную задачу, когда орбита тела J — гипербола (е^> 1); эллиптическую ограниченную задачу, когда орбита тела J — эллипс (0<е<1); круговую ограниченную задачу, в которой орбита тела J — окружность (е — 0). Можцо также рассматривать параболическую (е — 1) и прямолинейную (когда тело J движется по прямой, проходящей через S) ограниченные задачи.
Если тело Р бесконечно малой массы во все время движения находится в плоскости движения тел S и /, то говорят, что соответствующая ограниченная задача плоская; если же тело Р в своем движении выходит из плоскости орбиты тел S и /, то говорят о пространственной ограниченной задаче.
Получим дифференциальные уравнения, определяющие движение тела Р в ограниченной задаче трех тел. Введем (рис. 1) систему координат Oxyz с началом в центре масс тел S я J. Плоскость Оху совместим с плоскостью орбиты тела J относительно S. Ось Ох направим по прямой SJ в сторону тела J.
18
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. і
Кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу совпадает с направлением вращения тела J относительно тела S. Ось Oz дополняет
оси Ох и Оу до правой системы координат.
Кинетическая энергия Т тела Р и силовая функция U вычисляются по формулам
Т = -j-m3[(x~ vy)2 + (у + vxf + z2],
(1.2)
U = fms(^ + ^-). (1.3)
Рис. 1. К J выводу уравнений движения.
Точкой в (1.2) и далее обозначается дифференцирование по времени t. Величины гх и г2 в (1.3) — расстояния тела Р от тел S и / соответственно:
Г1
/(*
т2
т1 + пг2
У
Z2,
----Г---П + у2 + г2. (1.4)
% + % і 1 5 ' '
При помощи функции Лагранжа L — Т -\-U выписываем дифференциальные уравнения движения тела Р
dW
2 vy — vy — v2x = ¦ ^
2vx
vx — v2y
aw
dy
dW
dz
(1.5)
Здесь через W обозначена силовая функция (1.3), разделенная на пгэ. Сделаем в уравнениях (1.5) замену переменных, введенную Нехвилом [22]:
X = ГЪ, У = г Г], Z = т (1.6)
где г определяется формулами кеплеровского движения (1.1). Кроме того, перейдем к новой независимой переменной истинной аномалии v. Производные по v обозначим штрихами. Получаем такие соотношения:
с2
X — —j- [('1 -)- е cos v) g" + е cos v|] (1 + e cos v)3,
у — — [(1 + e cos v) Г)' + e sin vr|],
(1.7)
e cos v)2,
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
19
V =-------7— sin V (1 + е cos v)3,
р (1.7)
dW (1-j-ecosv)2 dW dx p2 dZ, '
