Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
139
Л/(гі,г2,г3) имеет такой вид:
М = Сзоо^і + с>югіг2 + Ci20rir2 ~Ь созога "~Ь с2оігігз "~Ь Сцігіг2гз "~Ь
"~Ь С021Г2Г3 "~Ь С102Г 1г3 + Со12Г2Г3 "~Ь С003Г3- (3.14)
Нормальная форма функции Гамильтона будет иметь вед (3.13),
с300 -80
-60
-М
-20
И* F-
Рис. 9. Коэффициенты нормальной формы совокупности членов шестого порядка в разложении функции Гамильтона.
если частоты (і = 1, 2, 3) не связаны резонансными соотношениями до шестого порядка включительно. В интересующих сейчас нас интервалах (3.2) изменения параметра ц эти условия отсутствия резонанса, как показали расчеты, выполнены.
140
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ (ГЛ. 8
Коэффициенты формы М третьего порядка (по г*) в нормальной форме были получены при любых (нерезонансных) значениях Ц. Эта работа проводилась на ЭВМ. Графики коэффициентов функции М представлены на рис. 9 и 10.
W-
-40-
(с* fi
Рис. 10. Коэффициенты нормальной формы совокупности членов шестою порядка, соответствующие пространственным переменным.
Прежде чем строить и исследовать формальный интеграл, нужный для доказательства утверждения теоремы о формальной устойчивости точек либрации в интервалах (3.2), покажем,
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
141
(3.15)
од-
то-
следуя {67], что система уравнений
L = 0, ' JV = О, М = О
при гх > О, г2 > 0, г3 > О для значений р. из интервалов (3.2) имеет только тривиальное решение гх = г2 = г3 = 0.
Как только что было показано выше, первые два уравнения системы (3.15) для значений ji из интервалов (3.2) допускают нетривиальное решение гг = <x2r2, г3 — Ргг2> гДе а2 и Рг повременно положительны. Подставив это решение в функцию М, получим, что третье из уравнений системы (3.15) переходит в уравнение
М (<х2г2, r2,[p2r2) = f([A)r24 = 0,
(3.16)
где F(p) = М (а2, 1, р2)- Если
функция F([i) в интервалах (3.2) не обращается в нуль, то система (3.15) несовместна. График функции F([i) для значений р. из ~4000 интервалов (3.2) представлен на рис. 11. Функция F(|i) в нуль не обращается. Таким образом, система уравнений (3.15) для значений ц, лежащих в интервалах (3.2), имеет только тривиальное решение гх = г2 = г3 = 0.
Теперь возьмем какое-либо значение ц из интервалов (3.2) и заметим, что возможны только три случая: 1) когда нет резонанса между частотами (0{, 2) когда есть однократный резонанс +
з
+ &2ю2 + Аг3о>3 = 0, 2 | | > 7 и 3) когда частоты связаны дву-
»=1
мя резонансными соотношениями (3.3) (двукратный резонанс).
В первом случае имеет место формальная устойчивость согласно результатам Мозера [157] (см. также § 2 пятой главы книги).
Рассмотрим второй случай. Если среди целых чисел к] (і — = 1,-2, 3) есть числа разных знаков, то опять, согласно работе Мозера [157], имеет место формальная устойчивость. Пусть все числа кі имеют одинаковый знак, например, пусть все они положительны. Нетрудно проверить (см. также [13]), что система с нормализованным во всех порядках гамильтонианом (3.13) имеет три формальных интеграла:
(р', г) = const, (р", г) = const, Н — L = const, (3.17)
Рис. 11. Зависимости функции F от ц.
142
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
где (р', к) = 0, (рв, к) = 0, р'т = (/>;, р'г, р'3), р"т = (pi, РІ, р’3), кт= (Ах, А2, А3), Гт= (гх, г2, гз). Из интегралов (3.17) составим формальный интеграл G вида
G =* (р', г)4 + (р', г)4 + (ЛГ + М +. . .)*. (3.18)
Слагаемые правой части интеграла (3.18) неотрицательны. Покажем, что в нашем случае они могут обратиться в нуль только в начале координат. Это и будет означать знакоопределенность формального интеграла G.
Легко видеть, что первые два слагаемых в (3.18) обращаются одновременно в нуль только на луче г = рк (р > 0). На этом луче третье слагаемое имеет вид
(ІУ(А1,А2,*3)Ра + М{къкг,к3)рг + . . .)2
и при достаточно малых р Ф 0 не равно нулю в силу несовместности системы (3.15) в квадранте гг > 0, г2 > 0, г3 !> 0 (заметим, что на луче г = рк функция L тождественно равна нулю). Итак, во втором случае также имеет место формальная устойчивость точек либрации.
В третьем случае, случае двукратного резонанса (3.3), мы располагаем только двумя формальными интегралами:
(р, г) = const, Я — L = const, (3.19)
где (р, к') = 0, (р, к") = 0. Формальный интеграл, аналогичный интегралу (3.18), имеет вид
G = (р, ту + (N + М + . . .)2. (3.20)
Первое слагаемое в (3.20) обращается в нуль уже не на луче, а на плоскости г == рхк' + ргк". Второе слагаемое теперь уже может обратиться в нуль, несмотря на несовместность системы уравнений (3.15) при гх >0, г2 !> 0, г3> 0. А поэтому мы и не можем показать (нашим способом) формальную устойчивость в случае двукратного резонанса.
Проведенные рассуждения доказывают теорему.
Замечание. Наличие формальной устойчивости позволяет утверждать, что неустойчивость по Ляпунову не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (но конечного) порядка. А если и существуют траектории, по которым тело Р далеко уходит от вершины равностороннего треугольника, то движение по ним происходит крайне медленно.
