Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Проведенные рассмотрения показывают справедливость сформулированной в начале параграфа теоремы об устойчивости треугольных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел.
§ 5. Об устойчивости точек либрации при критическом отношении масс
В предыдущем параграфе доказана теорема, полностью решающая задачу об устойчивости треугольных точек либрации для всех значений |л, лежащих внутри области (2.2) устойчивости в первом приближении. Известный интерес представляет также задача об устойчивости при граничных значениях |л области (2.2).
При р, = 0 вопрос решается просто, так как задача трех тел при этом переходит в задачу двух тел, а задача об устойчивости точек либрации сводится к исследованию устойчивости движения материальной точки вокруг неподвижного притягивающего центра, а такое движение, как известно, неустойчиво, так как сколь угодно малое возмущение начальных условий приводит к изменению периода кеплеровского движения; здесь имеет место лишь орбитальная устойчивость (по этому вопросу см. также работу А. Г. Сокольского [85]).
Исследование устойчивости движения при
(х = (х* = (9 — /69J/18 = 0,0385208. . .
(критическое отношение масс или, как иногда говорят, критическое отношение масс Рауса) представляет значительные трудности. При (і = fi* частоты линейных колебаний равны, а линеаризованная система, как уже отмечалось в главе 1, неустойчива. Исследование устойчивости точек либрации при в нелиней-
ной постановке задачи проведено А. Г. Сокольским в работе [88] как для плоской задачи, так и для пространственной. Кратко опишем полученные результаты в случае плоской задачи.
При ц = (л* матрица линеаризованной системы уравнений возмущенного движения к диагональной форме не приводится. Ее собственные числа равны + г/2/2. Линейное вещественное каноническое преобразование qh pt -*¦ qi, р\, задающееся при
S 51 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ КРИТИЧЕСКОМ ОТНОШЕНИИ МАСС
131
помощи матрицы
43/10 /ТЇ5' /230 3/5
100 50 10 10
/230 Vb /10 /115
100 50 10 10
/230 3/Г /10 0
10 20 4
17 /10 11 /ЇЇ5 /230 2/5"
50 100 20 Ь
приводит квадратичную часть /72 функции Гамильтона (3.1) (при е — 0) к следующей нормальной форме:
/ / | ,2 / 2 "і/" о / / , ,
Н2 (qj, Pj) = j(qi + q2 ) -ь (?iPs — QiPi)- (5.2)
Проведя затем нелинейную нормализацию q'j, p’j -> qj, p, и проделав все вычисления согласно формулам работы [87], приведенным, в § 4 главы 4, получим гамильтониан возмущенного движения в виде
Н = Н2 (qj,Pj) + (pi 4~ pi) [A (pi -f pi) + В (qiPi — q-tPi) 4-
4- С (яі 4- 9г)] 4- • • • (5-3)
В (5.3) не выписаны члены выше четвертого порядка относитель-
н° q'j, J)]. Коэффициент А в гамильтониане (5.3) равен 0,603...
Так как он положителен, то, согласно § 4 главы 4, точки либрации формально устойчивы.
ГЛАВА 8
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
mni?v ТІ? ТЇ
§ 1. Нормальная форма функдии Гамильтона
В этой главе проводится исследование устойчивости треугольных точек либрации в случае пространственной круговой задачи трех тел [63]. То есть, как и в исследовании предыдущей главы, орбита основных притягивающих тел S и / предполагается круговой, но на тело Р бесконечно малой массы в начальный момент времени действуют не только плоские возмущения, но и возмущения, выводящие его из плоскости вращения тел S и J. Теперь в гамильтониане возмущенного движения (3.1) предудущей главы следует положить только е = 0, а координата q3 и импульс р3 нулю не равны. И, таким образом, необходимо исследовать устойчивость положения равновесия qt = pt = 0 в атономной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. Изучение этой системы основано на результатах теории устойчивости многомерных гамильтоновых систем, изложенных в главе 5.
Для исследования устойчивости надо получить нормальную форму функции Гамильтона возмущенного движения. Сначала необходимо провести нормализацию квадратичной части Н2 функции Гамильтона. Соответствующая линейная каноническая замена переменных для величин q(, pt (і = 1, 2 ) имеет вид (4.2) главы 7. Пространственные переменные q3 и р3 при линейной нормализации не изменяются: q3 = q3, р3 = Рз. Сделав еще
замену переменных по формулам (4.4) главы 7, в которых ю3 = 1, получим квадратичную часть функции Гамильтона в виде
L = ил — ю2г2 + ю3г3 (ю3 = 1). (1.1)
Если частоты <й; не связаны резонансными соотношениями до четвертого порядка включительно, Т. е. ДЛЯ целых чисел Пі выполнено условие
+ п2юг + п3со3 Ф 0 при 0 <|nt| + [п2| + |я3| < 4, (1.2)
то при помощи преобразования Биркгофа q[, р\ -*¦ ql, р\, задаваемого сходящимися степенными рядами, функция Гамильтона приводится к виду
Н = L (ги г2, г3) + N (ги г2, г3) + О (fo + г2 + г3)5/.). (1.3)
SHJ
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА
133
Здесь L определено равенством (1.1), а функция N (rlt г2, г8) такова:
N = с2оогі ~Ь с11оГ1г2 c101iir, + с02ог2 ~Ь соигггз сооаГз (I-4) (2п = ql + p"i).
Вычисления показывают, что условие (1.2) нарушается в нашей задаче в области устойчивости линейной системы 0 <27ц (1 —
— ц) <; 1 при пяти значениях параметра fi, соответствующих следующим пяти резонансным соотношениям:
