Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
1) — 2<в2 = о, 2) о»! — 3<в2 = 0, 3) 2<в2 — 1 = 0,
4) 3(о2 — 1 = 0, 5) 2<В! — (02 — 1=0.
Учитывая тот факт, что Н3 и Н\ — четные функции q3, легко показать, что наличие резонансных соотношений (3) — (5) не
Чй!
4
3
г
°ол< с№,,
• * - -0,006 -
- 3 - -ароч -
- г -
'J / -OflOZ- г- oV
Иг И/ И И
Иг И/ ИИ
Рис. 7. Коэффициенты нормализованного гамильтониана, соответствующие пространственным переменным.
приводит к появлению нулевых знаменателей при получении производящей функции, задающей преобразование Биркгофа, и потому не мешает получению нормальной формы (1.3). При резонансах (1) и (2) нулевые знаменатели появляются. Соответствующими значениями ц будут значения p,j и рассмотренные в предыдущей главе в случае плоской круговой задачи. Было показано, что при значениях ц, равных и р2, в плоской задаче точки либрации неустойчивы. Эта неустойчивость, конечно, остается и в рассматриваемом сейчас случае пространственной задачи.
Пусть (і Ф Ці (г = 1, 2). Тогда при всех остальных значениях из области 0 < 27ц (1 — р,) < 1 устойчивости в первом при-
134
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
ближении нормализованная до членов четвертого порядка включительно функция Гамильтона будет иметь вид (1.3). При этом,
конечно, при всех Ц. С2оо = с2о, Сцо = СИ, Со20 = С02> а выражения
для этих коэффициентов получены в [111] и приведены в предыдущей главе. Для остальных коэффициентов нормальной формы
(1.3) получаем после проведения довольно длительных выкладок следующие выражения [63]:
8о),о)^
Cl01 = ~ 3(1 — 2(0®) (4 со2) ’
Со11 =____________^______, (1.5)
3(1 — 2<в2) (4 — со2)
С002
3(4-ш2) (4-ш2)
Графики коэффициентов (1.5) в зависимости от ц. представлены на рис. 7.
§ 2. Устойяивость для большинства начальных условий
В этом параграфе мы докажем следующее утверждение.
Теорема. В пространственной круговой ограниченной задаче трех тел треугольные точки либрации устойчивы для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий при всех fi из области устойчивости в первом приближении (значения и fi2 исключаются).
Доказательство. При fi = fit (і = 1, 2) точки либрации неустойчивы, как уже об этом говорилось выше. Пусть (і Ф fi,! и \і Ф \lz. Тогда гамильтониан возмущенного движения может быть представлен в виде (1.3). Согласно исследованиям Арнольда, изложенным в главе 5, для доказательства устойчивости для большинства начальных условий достаточно проверить отличие от нуля определителя четвертого порядка
d2N dL
Du — det
dridri c»ri dL
dr,
0
(2.1)
Раскрывая определитель (2.1) и используя выражения (1.1) и
(1.4), получаем
Di = сої (ton — 4со2оСоог) + (с201 — 4с2ооС<ю2) +
Ч- (03 (Сцо --- 4с2ооСо2о) 2(01(02 (с101с011 — 2с002с1ю)
— 2(о1(о3 (со11сио — 2с02оСіоі) + 2(о2(о3 (с110с10і — 2с2ооСоп)' (2.2)
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
135
Преобразуем выражение (2.2) к более простому виду, используя явные зависимости коэффициентов нормальной формы от (Ох и (02 согласно формулам (4.6) главы 7 и формулам (1.5) настоящей главы. Выражение для Z)4 можно записать в виде функции аргумента и = 0)Г20)г2. Получаем
п__________________Цц)___________ (2 3)
— 5184(4 — и)2 (25 — 4и)2(1 + 12и)2 ’ v ' ’
где через f(u) обозначен многочлен пятой степени от и:
/ (м)=73908288и5-356526576и4+2645643564м3-
—5787985485 и2 — 759408680м — 317395600.
Из уравнения (4.3) главы 7 получаем
2 2 27 .a v
= —ц(1 — !*)¦
А так как в области устойчивости в первом приближении выполняется неравенство 0 <; 27ц (1 — ц) < 1, то очевидно, что при всех ц в этой области выполнено неравенство и 4.
¦ ' Многочлен Дм) и его производные при и = 4 имеют такие числовые значения:
/ = 57769673472, f1 = 83259403696, /п = 78068980614, /ш = 52599266568, /IV = 26919340416, /v = 8868994560.
Так как все эти значения положительны, то (см., например, [35]) при и 4 уравнение f(u) = 0 не имеет корней. Тем самым доказана выполнимость неравенства D\ Ф 0 при всех ц из области устойчивости в первом приближении (кроме = Ці и = = Цг)- А значит, доказана и сформулированная в начале параграфа теорема об устойчивости точек либрации для большинства начальных условий.
§ 3. Формальная устойчивость
Из результатов предыдущего параграфа следует, что тело Р бесконечно малой массы будет образовывать с телами конечных масс S и / треугольник, близкий к равностороннему, для большинства достаточно малых отклонений от вершины равностороннего треугольника, соответствующего невозмущенному движению, и для достаточно малых относительных скоростей. И, согласно [4], для этих начальных условий, соответствующих несоизмеримым частотам, движение тела Р будет условнопериодическим. Таким образом, с вероятностью, близкой к единице, треугольные точки либрации в пространственной круговой ограниченной задаче трех тел устойчивы. Но каково движение тела Р для начальных условий, соответствующих соизмеримым (или почти соизмеримым) частотам?
136
УСТОЙЧИВОСТЬ в ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 8
Исследуемая механическая система обладает тремя степенями свободы. А в многомерных гамильтоновых системах, как уже подробно говорилось в пятой главе, может быть неустойчивость по Ляпунову, несмотря на то, что выполнены условия устойчивости для большинства начальных условий.
