Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 42

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 106 >> Следующая

j=2
n
Фг = Фі + 2яЯ.{ — вуА/і — аТ7 Sin Ф + О (rf/2),
і—і 1
§ G] УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 121
(к, <р) = (к, <р°) + 2nN — -J- [F (ki) + ак« sin Ф] г\ + О (rf\
2 т*о
cos [(к, <р) + Ъ\ — cos Ф -|—j-i- [F (ki) -f sin Ф] sin Ф + О (rf2).
Используя эти оценки, получаем в области V 0 такое выражение для разности V (гг, ф?) — V (г®, ф°):
П
V (п, ФО - V (rl ф?) = п (1 - ті!) АГ]г°Г_1 X j=2
1 jn
X [ака sin2 Ф + 2F (kt) sin Ф + ака + За (re — 1) cos2 Ф + О (г” )].
(6.10)
Четвертое слагаемое в квадратных скобках неотрицательно в области V 0. СуАма же первых трех слагаемых строго положительна, если выполняется условие (6.9). В самом деле, эту сумму можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно sin Ф. Дискриминант трехчлена
D = 4 IF2 (kt) - а***»]
и отрицателен, если справедливо неравенство (6.9).
Следовательно, в области F^>0 разность V (rif фг)— V (г®, Ф?) положительна и, согласно §2, неподвижная точка = г* =. . . ...=гп = 0 неустойчива.
ГЛАВА 7
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Функция Гамильтона задачи трех тел
Рассмотрим три материальных тела (точки), взаимно притягивающиеся по закону Ньютона. Как и в главе 1, будем интересоваться частным случаем задачи трех тел — случаем ограниченной задачи.
В главе 1 получены пять точек либрации Li (і = 1, 2.......5)
ограниченной задачи трех тел и в случае круговой задачи исследована их устойчивость в первом линейном приближении. Показано, что прямолинейные точки либрации Ьъ Ь2 и Ьа неустойчивы в линейном приближении, так как соответствующие им характеристические уравнения имеют корни с положительными вещественными частями. Отсюда следует неустойчивость точек либрации L±, Ь% и Ь3 и в строгой нелинейной постановке. Треугольные точки либрации tj и і5 в линейном приближении устойчивы только при достаточно малом отношении масс основных притягивающих тел S и /; более точно, при выполнении неравенств (3.1) главы 1.
В этой и последующих главах излагается решение задачи об устойчивости треугольных точек либрации в следующих случаях ограниченной задачи трех тел: 1) плоском круговом, 2) пространственном круговом, 3) плоском эллиптическом, 4) пространственном эллиптическом.
Получим выражение для функции Гамильтона задачи трех тел. Движение будем рассматривать в координатах Нехвила ?, т|, Z, с истинной аномалией v кеплеровского движения тел S и / в качестве независимой переменной. Единицы измерения выберем такими, чтобы сумма масс тел S и /, расстояние между ними и постоянная тяготения равнялись единице. Уравнения движения запишутся в виде соотношений (1.10) главы 1. Эти уравнения могут быть записаны как уравнения Лагранжа второго рода с функцией Лагранжа L вида
Штрих в (1.1) означает дифференцирование по v. Введя обобщенные импульсы
L = -і- (Г2 + тГ + С) + (тї? - ці') +
ПРЕДЫСТОРИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
123
и проведя затем несложные выкладки, получим такое выражение для функции Гамильтона:
§ 2. Краткая предыстория решения задачи
об устойчивости лаграпжевых решении
Легко проверить, что уравнения движения с гамильтонианом (1.3) допускают такое частное решение:
Это частное решение соответствует периодическому движению Лагранжа (точке либрации) задачи трех тел. Для решения (2.1), в случае эллиптической задачи, три тела во все время движения образуют в абсолютном пространстве равносторонний треугольник, длины сторон которого периодически изменяются. В случае круговой задачи длины сторон треугольника постоянны. Решение
(2.1) обозначается через L4. Симметричная относительно оси 0\ треугольная точка либрации обозначается через Ьь.
Задача об устойчивости треугольных точек либрации Li и L5, в противоположность задаче об устойчивости прямолинейных точек Lj, L2 и La, оказалась чрезвычайно сложной. К настоящему времени полный завершающий ответ на вопрос об устойчивости по Ляпунову треугольных точек либрации получен не во всех случаях. Полное решение вопроса достигнуто только в плоской круговой задаче. Но в плоской эллиптической задаче, в пространственной круговой и пространственной эллиптической задачах достигнуто значительное продвижение, так что практически и здесь задача об устойчивости очень близка к полному завершению. Изложению и обсуждению всех этих результатов посвящены настоящая и последующие три главы книги. Но сначала изложим очень краткую предысторию решения задачи об устойчивости треугольных точек либрации.
Необходимое условие устойчивости треугольных точек либрации круговой задачи трех тел
е cos v
1
W. (1.3)
I О v
' 2 (1 + е cos v)
1 + е cos V
(2.1)
О < 27ц (1 — (*¦)<!
упоминается, по-видимому, впервые в 1843 году в работе Гашо [134].
124
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
ІГЛ. 7
В 1875 году Payee [169] решил (в линейном приближении) задачу об устойчивости треугольных точек либрации для неограниченной задачи трех тел (когда масса тела Р не бесконечна мала, а равна некоторой конечной величине, так что тело Р уже само влияет на движение двух других тел S и /) и для произвольного закона притяжения. Рассмотрев плоскую задачу и предположив, что притяжение тел пропорционально произведению их масс и обратно пропорционально n-й степени расстояния между телами, Payee показал, что при п^> 3 точки либрации неустойчивы. Если же п < 3, то имеет место устойчивость при выполнении неравенства
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed