Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Для получения оценок времени «удержания» тела Р вблизи вершины равностороннего треугольника можно было бы использовать изложенные в пятой главе результаты Н. Н. Нехорошева по исследованию скорости диффузии Арнольда. Заметим для этого, что несовместность системы (3.9) в интервалах (3.1) и системы
КРИТИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ МАСС
143
(3.15) в интервалах (3.2) означает, что в этих интервалах выполнены условия крутизны функций L + М и L + N + М соответственно, Но мы встречаемся со следующим затруднением. Н. Н. Нехорошее показал справедливость экспоненциальной оценки скорости диффузии Арнольда для аналитических гамильтонианов, а в нашем случае движения вблизи положения равновесия, совпадающего с началом координат, функция Гамильтона не является аналитической относительно г* (есть аналитичность только относительно Уг і). В автореферате работы [78] утверждается, что и в этом последнем случае можно показать воз^ можность применения экспоненциальной оценки скорости диффузии Арнольда, если исключить резонансы до некоторого, достаточно высокого, конечного порядка. И тогда будет иметь место следующая оценка:
(2М'0-»ч(О)]1у/.<в (3.21)
4=1 '
при всех значениях v (напомним, что v — истинная аномалия кеплеровского движения основных притягивающих масс S и /), для которых
О < v < exp . (3.22)
Величина е характеризует малость величины отклонения координат и скоростей тела Р от их значений, соответствующих точке либрации. Положительные константы а и Ь допускают оценку
О <а<Ь<^-. (3.23)
§ 4. Формальная устойчивость точек либрации при критическом отношении масс
Рассмотрим теперь, следуя работе [88], задачу об устойчивости точек либрации при критическом отношении масс [і*, являющемся границей области устойчивости в линейном приближении. При (і = ц* частоты плоских колебаний равны между собой ((o1 = m2=w = VУ2), а частота пространственных колебаний (о3, как и при любых значениях ц, равна единице. Линейным вещественным каноническим преобразованием g3-, р, —> qv р$ приведем квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной форме. Для этого переменные плоского движения qt, pj 0 = 1, 2) преобразуем с помощью матрицы N = || пи || (і, / = 1,. . ., 4), задающейся равенством (5.1) седьмой главы, a q3, р3 оставим без изменения. Тогда функция Гамильтона возмущенного
144
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
движения примет вид
н = 4~ (?1 + + Щ- (ЯіРг — Q2P1) + 4“ + Рз) п
Vі г. 'Vl ,v* 'v* '^г „
~Ь ^viv2vshih,9i Чч Яз Pi Рї ¦ (4.1)
Vi4~V2-f-V*-|-HlJHA2=3
При помощи преобразования Биркгофа qj, pj—> qj, Pj можно в гамильтониане (4.1) уничтожить все члены третьего порядка, а члены четвертого порядка упростить. Функция Гамильтона, нормализованная до членов четвертого порядка включительно, в новых переменных будет иметь вид
Я = (§1 + Яг) + (Я1Р2 — Я2Р1) + (Яз + Рз) +
+ (Pi + Рг) [A (pi + рг) + В (Яір2 — ?2рі) + С (яї + 9а)] +
+ (Яз + Рз) [D (pi + Р2) + Е (?ір2 — Я2Р1) + F (Яз + Рз)] + • ¦ • (‘4-2)
В (4.2) не выписаны члены пятого и более высоких порядков,
коэффициенты А, В, С — те же, что и в формуле (5.3) седьмой главы. Как будет видно ниже, для доказательства формальной устойчивости существен только коэффициент А = 0,603. . .
Докажем формальную устойчивость точек либрации. Можно показать, что при помощи бесконечного числа шагов преобразования Биркгофа (возможно, расходящегося) функция Гамильтона (4.2) может быть приведена к следующей нормальной форме:
Я = (Яї + ЯІ) + (ЯіРг — 1Ї2рі) + ~2~ ІЯз + Рз) +
ОС
+ ]Г| «а.-х/ъа. (q\ + q\)*> + pl,a'- (g, — qu5t)a* (q\ + Рз)“\
Ot і —]—OCe —|—OCs —0&4 2
где cti — целые неотрицательные числа.
Каноническая система с гамильтонианом (4.3) имеет три формальных интеграла:
Я = const, qipi — q>pi = const, ql + рз = const. (4.4)
Следовательно, их комбинация
i/2
G =г Я — -у (9i?a — 9aPi)
также будет формальным интегралом. В разложении G — Gz + 6?4 + Ge + • • •
выводы
145
функция
Gi + 64 = -J- (q\ + qt) + A (pt + plf + -j- (qt + Рз) + + (Pi + P2) [-® (qiP'2 :— 92Pi) + C (?! + ?2 )] + + (?3 + Рз) [D (Fi + P2) +# (9іРз — 92P1) + P (q\ + Рз)!
при A 0 будет определенно-положительной функцией своих переменных. Отсюда следует формальная устойчивость треугольных точек либрации при критическом отношении масс ц*.
Отметим в заключение, что приведенное выше доказательство формальной устойчивости отличается от доказательства, изложенного в работе А. Г. Сокольского [88]. Приведенный здесь новый вариант доказательства также сообщен автору А. Г. Сокольским.
§ 5. Выводы
Кратко сформулируем и обсудим результаты исследования устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел.
Как в плоской, так и в пространственной задаче условия устойчивости в линейном приближении записываются в виде неравенств
О < ц < ц* = 0,0385208. . . (5.1)
Строгий нелинейный анализ показал, что в случае плоской задачи точки либрации устойчивы по Ляпунову для всех значений параметра ц. из области (5.1), кроме двух значений
Ні = 0,0242938. . . и |х2 == 0,0135160. . ., (5.2)
при которых имеет место неустойчивость. Так что задача об устойчивости треугольных точек либрации для значений параметра |х из области (5.1) в случае плоской задачи решена полностью.
