Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
В этом параграфе мы рассмотрим задачу об устойчивости точек либрации с точки зрения формальной устойчивости и в результате докажем такое утверждение.
Теорема. Область 0 •< 27ц (1 — ц) <; 1 устойчивости в первом приближении разбивается на пять интервалов:
О < ц < 0,010913. . .; 0,016376. . . < ц < ^ = 0,024293...;
Ці < И < И* = 0,038520. . (3.1)
0,010913. . . <ц< ц2 = 0,013516. . .; ц2<ц<0,016376. . .,(3.2)
причем в интервалах (3.1) треугольные точки либрации пространственной круговой ограниченной задачи трех тел формально устойчивы, а в интервалах (3.2) формальная устойчивость имеет место для почти всех значений ц; исключения, быть может, составляют значения ц, при которых частоты со і (і — 1, 2, 3; со3 = 1) линейной задачи удовлетворяют соотношениям двукратного резонанса
кх(Аі ~f* ?2G)2 ^зСОз = 0, h (A>i -f* &2(02 ~f* &з(А>з ~ 0,
3 3 (3-3)
ki,ki—целые числа, 23|^г|^>7, 2 1^*1 ^7.
i=Г г=1
Справедливость теоремы мы покажем в несколько этапов. Сначала, следуя [58], покажем формальную устойчивость для значений ц, лежащих в интервалах (3.1). Для этого заметим, что при помощи преобразования Биркгофа в функции Гамильтона (1.3) можно нормализовать совокупность членов пятого, шестого и т. д. порядков. И если ц принадлежит область устойчивости в линейном приближении и ц Ф Цх, ц Ф ц2, то нормализованная во всех порядках функция Гамильтона запишется в виде
Н — L -Ь R(n, фі), (3.4)
где L и N определены равенствами (1.1) и (1.4), а формальный ряд R начинается с членов не ниже пятого порядка относительно У г,-. Угловые переменные фі будут содержаться в R только в виде комбинаций
йіфі + ?2ф2 + Азфз, (3.5)
где ki —целые числа, для которых выполнено равенство
&!&)! — &2СО2 -f- А:3 = 0 (| кг I -f- I Al2 I -f- I k3 I ^ 5). (3.6)
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
137
Система с гамильтонианом (3.4) имеет очевидный формальный интеграл Н = const, так как Н не зависит от времени. Кроме того, учитывая (3.5) и (3.6), нетрудно проверить, что выражение L тоже будет интегралом (формальным).
Составим формальный интеграл G в виде
G = L4 + (Я - L)\ (3.7)
В разложении G = Gs + G9 + . . . функция Ga имеет вид
Gs = L* N2. (3.8)
Оба слагаемых в правой части равенства (3.8) неотрицательны.
Поэтому функция Gg будет знакоопределенной в окрестности
Рис. 8. Зависимость коэффициентов <гао, ап и я02 от ц.
начала координат, если при rL > 0, г2 > 0, г3 > 0 система уравнений
L = О, N = 0 (3.9)
имеет только нулевое решение = г2 = г3 = 0. Исследуем систему уравнений (3.9). Из первого уравнения L — 0 найдем выражение г3 через гх и г2 и подставим его во второе уравнение. Тогда система уравнений (3.9) перепишется так:
Г3 = (02г2 — СОЛ, «20 rl + апг1г2 + а„гг\ = 0. (3.100
В системе уравнений (3.10) введены следующие обозначения:
і 2
#20 — С200 — Cjoift»! -f- Соо2®И
®ii = сио Ч- Сіоі<02 — СоцСО^ — 2c002(0i(02,
__ I I 2
О-02 — С020 “Г С0ц(Й2 “Г С002<Й-г.
Графики коэффициентов 0, аи и а02 представлены на рис. 8. Коэффициент а20 при ц = ц** = 0,00278 обращается в нуль.
138
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
При этом значении (і коэффициенты системы уравнений (3.10) таковы:
(О! == 0,99042, <о2 = 0,13811, Ъ = —0,39924, с = 0,56461
и система (3.10) имеет две серии решений:
1) гх произвольно, г2 = 0, г3 = —юл;
2) гх = 1,4142 г2, г2 произвольно, г3 = —1,2625 г2.
Эти решения не удовлетворяют неравенствам г1 0, г2 ;> 0, г3 > 0. Поэтому при fi = fi** система уравнений (3.10) при гх >0, г2 > 0, г3 0 имеет только нулевое решение.
При (1 ф (1** (и, конечно, fi ф fix И fi ф fi2) решения системы уравнений (3.10) могут быть описаны следующим образом:
Система уравнений (3.10) тогда и только тогда имеет ненулевое
a.j, Pjf одновременно неотрицательны.
Расчеты показывают, что величина аХ1 — 4а20а02 положительна всегда, ах и всегда противоположны по знаку, а величины а2 и р2 одновременно положительны только при выполнении неравенств
Таким образом, формальный интеграл (3.7) будет знакоопределенным при всех (і из области устойчивости в первом приближении, кроме значений fix и fi2 (исключенных из рассмотрения с самого начала, так как вопрос об устойчивости при ц = fix и fi = ц2 уже решен), а также значений fi, принадлежащих интервалам (3.2). Таким образом, формальная устойчивость точек либраций для значений fi, лежащих в интервалах (3.1), доказана.
Рассмотрим теперь интервалы (3.2). Для доказательства утверждения теоремы о формальной устойчивости в интервалах
(3.2) надо исследовать коэффициенты при членах шестого порядка относительно Yri в нормальной форме функции Гамильтона возмущенного движения.
Нормализованная до членов шестого порядка включительно функция Гамильтона нашей задачи имеет такой вид:
Г1 = аЗг27 г3 = Рзг27 *2 произвольно (j = 1, 2),
а1 =
2(120 ’ а2 2020 = (о2 — а, (Ох.
решение при гх > 0, г2 > 0, г3 > 0, когда величины а?х — 4а20а02>
0,010913. . . < fi < 0,016376. . ., fi Ф fi2 = 0,013516. . . (3.12)
Я = Z, + N + М + 0 ((г! + г2 + г,)’/*)
(3.13)
где L и N определены равенствами (1.1) и (1.4), а функция
