Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь т0, щ и 7712 — массы тел Р, S и J соответственно. Для случая ограниченной задачи (т0 = 0) при ньютоновском притяжении (п — 2) неравенство (2.3) переходит в условие устойчивости
(2.2). В 1889 году А. М. Ляпунов рассмотрел задачу об устойчивости в линейном приближении треугольных точек либрации для случая неограниченной пространственной задачи трех тел при притяжении тел, обратно пропорциональном п-й степеня расстояния между ними. Стороны треугольника, образованного тремя телами в невозмущенном движении, А. М. Ляпунов не считает постоянными, а они могут периодически изменяться. Результаты исследования А. М. Ляпунова опубликованы в его замечательной работе [48]. Результаты, полученные Рауссом, следуют из результатов Ляпунова как частный случай. В недавних работах А. Л. Куницына [34, 147] дана интересная геометрическая интерпретация условия устойчивости (2.3) в линейном приближении и сделана попытка получения некоторых строгих выводов об устойчивости в нелинейной задаче.
Исследования А. М. Ляпунова по устойчивости в линейном приближении точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел были продолжены в работах [19, 42, 99, 103, 104, 110, 136, 144, 152, 153, 160, 161]. На результатах этих работ мы подробнее остановимся в главе 9.
Важный шаг в задаче об устойчивости точек либрации (в плоской ограниченной круговой задаче) был сделан в 1959 году Литл-вудом [152, 153]. Он показал, что при начальном возмущении порядка е отклонение тела Р от вершины треугольника будет иметь тот же порядок в течение интервала времени, равного ехр (Аг~1!21 log е j-3'4), где величина А зависит только от (х.
Начало полному строгому решению задачи об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел было положено в 1962 году в работе А. М. Леонтовича [37], в которой для случая плоской круговой задачи показано, что устойчивость точек либрации имеет место при всех ц, удовлетворяющих необхо-
(2.3)
§ ЗІ
ГАМИЛЬТОНИАН ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
125
димому условию устойчивости в линейном приближении (2.2), кроме, быть может, множества значений ц, имеющего нулевую меру. В 1967 году Депри показали [111], что это исключительное множество состоит всего из трех значений Ц.
В недавнее время задача об устойчивости треугольных точек либрации подробно была рассмотрена в цикле работ автора [56, 58, 59, 62—67]. К ним примыкает также совсем недавняя работа А. Г. Сокольского [88]. Все полученные результаты будут подробно изложены ниже. В этой главе проведем исследование треугольных точек либрации в плоской круговой задаче трех тел.
§ 3. Гамильтониан возмущенного движения
Сначала получим выражение для функции Гамильтона, описывающей движение в окрестности, лагранжевой точки либрации L4. Сделаем замену переменных
? So “Ь *7іі Л Ло + ? = So “Ь
Pi = Р|о + Ръ Рл — Рло + Ріі Ръ = Ptо + Рз-
Решение (2.1) в новых переменных будет положением равновесия Qi — Pi — 0 (і = 1, 2, 3). Разлагая функцию Гамильтона (1.3) в ряд по степеням qt, pi, получаем
Здесь отброшены члены, не зависящие от qt, pt, а через Нт обозначена форма степени т относительно qi, р{. Первые шесть форм Нт получаются такими:
Я = Яа + Я3 + Н, +. . .
(3.1)
Н% — ~2~ (Pi + Р2 + Ра) + РіЯі — QiPz И—
е cos V
126
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. т
Н 6
1 +
В выражениях (3.2) — (3.6) для краткости введено обозначение
§ 4. Решение задачи об устоЗчивости точек либрации для значений параметра ц из области устойчивости в первом приближении
Рассмотрим случай плоской круговой задачи трех тел. Гамильтониан возмущенного движения записывается в виде разложения
(3.1), в котором надо положить е = 0, q3 = р3 = 0. Таким образом, получаем динамическую систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой не содержит явно времени. Пусть значение параметра ц удовлетворяет условию (2.2) устойчивости треугольных точек либрации в первом приближении. При строгом исследовании устойчивости будем применять результаты теории автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. главу 4) и докажем следующее утверждение [563.
Теорема. В области устойчивости в линейном приближении
(2.2) треугольные точки либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел устойчивы по Ляпунову при всех значениях ц, кроме двух значений
при которых имеет место неустойчивость.
Для доказательства необходимо получить нормальную форму гамильтониана (3.1) и по свойствам нормальной формы сделать выводы об устойчивости и неустойчивости. Прежде всего надо провести нормализацию гамильтониана Н2, соответствующего линейной системе. Согласно главе 2, задача линейной нормализации сводится к некоторым несложным алгебраическим операциям над коэффициентами гамильтониана Н2- После их проведения получаем
3/3 (1 — 2ц)
45— УЇ833
= 0,0135160..., (4.1)
§ 4J РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 127
линейное каноническое нормализующее преобразование в таком виде:
4-і = аіЯі + а-Дг-
Яі = аісіЯі + a2c2q2 + афіРі — аф2р2, (4.2)
Рі = —Ч\С\Я\ — + «і (1 — Ьі) РІ — а2( 1 — 62) рі,
