Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
а второй — в системе, имеющей функцию Гамильтона
Я = гъ (1 + cos 4ф) — г4 sin 8ф.
В первом случае устойчивость очевидна из-за существования знакоопределенного интеграла Я = const; неустойчивость во втором случае следует, например, из существования частного решения
были малы начальные значения г (0Ї.
§ 7. Устойчивость при резонансах
произвольного порядка
Пусть функция Гамильтона (3.2) такова, что величина кк не будет целым числом при к = 1, 2, . . ., 2п, а коэффициенты с2, c3i . • сп в (3.3) равны нулю. Тогда вопрос об устойчивости не решается членами до порядка 2п в разложении гамильтониана.
Допустим теперь, что число к (2п + 1) будет целым. Тогда функция Гамильтона (3.2) может быть приведена к виду
Я = arn Yг cos (2га + 1)ф + О (r"+1) (а = const). (7.1)
У і — 24г3 (0) t
которое неограниченно возрастает при t —>
1
, как бы ни
24г3(0)
При помощи функции Ляпунова
V = rn Yг sin (2га + 1)ф
(7.2)
3*
68 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
легко показать, что при а =? 0 положение равновесия х = у — О неустойчиво.
Пусть, далее, либо а = О, либо число Кк не будет целым при к = 1,2,..., 2п, 2п + 1, а число А, (2п + 2) — целое. Тогда гамильтониан приводится к виду
Н = rn+1 [с + Ь cos 2 (п + 1)ф] + О (гп+3/2), (7.3)
где & и с — постоянные коэффициенты. При выполнении неравенства | Ъ | | с | положение равновесия неустойчиво. Это доказы-
вается при помощи функции Ляпунова
V = rn+1 sin 2 (га + 1)ф. (7.4)
Если же | Ъ | < | с |, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Для доказательства этого утверждения сделаем каноническое преобразование г, ф -»-1, W при помощи производящей функции
(п+1) ф
= 2—1-0-; \ — (*а = ^)- <™>
о У і — к2 sin2 а
Знаки & и с можно считать одинаковыми, поэтому 0 к2 < 1. В (7.5) введено обозначение
Я/2
п _____ С _______^______
п+1 — ^ п+1___________ •
о Ух — к2 sin2 а
В новых переменных функция Гамильтона запишется в виде H = (^-j+1(b + c) + T(i,w,t),
где функция Г = О (/п+®/2) и периодична по W и t. Дальнейшее доказательство сводится к применению теоремы Мозера об инвариантных кривых, как это сделано в предыдущем параграфе.
ГЛАВА 4
УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 1. Постановка задачи
Рассмотрим автономную каноническую систему дифференциальных уравнений
*ji=dH ?^. = _ая (i = i2\ (И)
dt дрі ’ dt dgi \ ’ ) \ )
Пусть начало координат является положением равновесия системы и гамильтониан Н есть аналитическая функция обобщенных координат и импульсов qt, pt, разлагающаяся в ряд
Н = Н2 + Я3 + Ні + . . (1.2)
где Нт — однородная функция степени тп относительно qt, pt.
Если Н 2 — знакоопределенная функция, то, согласно теореме Ляпунова, положение равновесия устойчиво (для применения теоремы Ляпунова об устойчивости в качестве функции Ляпунова V можно взять в этом случае функцию Гамильтона Н). Пусть, однако, //2 не является знакоопределенной квадратичной формой, но система (1.1) устойчива в первом (линейном) приближении. Тогда при некоторых ограничениях на частоты ©j, <в2 линейной системы и на коэффициенты форм Н3 и //4 вопрос об устойчивости можно решить при помощи следующей теоремы Арнольда — Мозера [2, 3, 72].
Теорема. Если функция Гамильтона (1.2) такова, что
1) характеристическое уравнение линеаризованной системи
имеет чисто мнимые корни -tift>2;
2) + п2а>2 Ф 0; (1.3)
где пг, п2 — целые числа, удовлетворяющие условию 0 < I I + + I пг I < 4;
3) с20о)2а + с11о)1о)2.+ с02о)ї ф 0, (1.4)
то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.
В формулировке теоремы предполагается, что функция Гамильтона (1.2) записана в виде
Я = щГі — щг2 + с20г1 + СіЛг, + с02г2 + О ((rx + г2)s/2), (1.5)
70
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[ГЛ. 4
где 2 г і = + р\. Выбор координат и импульсов qt, pt, в которых
гамильтониан (1.2) представляется в виде (1.5), осуществляется при помощи преобразования Биркгофа, которое в нашем случае ВОЗМОЖНО при выполнении условия (1.3). Коэффициенты ctj являются инвариантами функции Гамильтона (1.2) относительно канонических преобразований.
Во многих приложениях при решении задачи об устойчивости теоремы Арнольда — Мозера недостаточно. Необходимо более полное исследование, когда условия (1.3), (1.4) не выполнены.
Случай нулевых частот линеаризованной системы в рассматриваемых ниже задачах небесной механики не встретится. (Отметим, однако, что задача об устойчивости автономной гамильтоновой системы в случае двух нулевых частот тщательно исследована в работе Сокольского [85].) Предположим поэтому, что 0.
Тогда условие (1.3) не выполняется при toj = А;со2 (к = 1, 2, 3). Исследование устойчивости в этих трех резонансных случаях проведено в § 2—4. Устойчивость при невыполнении условия
(1.4) рассмотрена в § 5.
§ 2. Исследование устойчивости при резонансе оа1=2о>2
Пусть частоты линеаризованной системы (1.1) связаны резонансным соотношением третьего порядка = 2со2. Проведем, следуя [55], подробное исследование устойчивости. Будем считать, что гамильтониан (1.2) имеет вид, соответствующий нормальным колебаниям линейной системы (соответствующую вещественную линейную нормализацию можно провести согласно, например, главе 2):
