Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маркеев А.П. -> "Точки либраций в небесной механике и космодинамике " -> 30

Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике — М.: Наука, 1978. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): tochkiliberaciyvnebesnoy1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 106 >> Следующая

(1.1) неустойчиво.
§ 5. Исследование устойчивости при c20g>| + СцЮіЮг + с02®2 — О
Исследуем теперь устойчивость положения равновесия системы (1:1), когда не выполняется условие (1.4) теоремы Арнольда — Мозера. Сначала рассмотрим пример (см. [57]), показывающий, что при невыполнении этого условия устойчивость положения рав новесия может быть разрушена членами сколь угодно высокого порядка в разлржении функции Гамильтона (1.2).
Пусть функция Гамильтона имеет вид Н — сйіТі — соаг2 + (coj.71 — соаг2) (агх + Ьг2) +
+ (rirT)m sin к (гаф! + лгф2), (5.1)
где псах — тса2 = О (т -(- п !> 5), к, тп, п — натуральные, а и Ъ — произвольные действительные числа.
Легко проверить, что для функции Гамильтона (5.1) условие
(1.4) не выполнено, а система дифференциальных уравнений, соответствующая (5.1), имеет такое частное решение:
к (гафі + лгф2) = (1 + 2N) л (N = 0, ±1, ±2, ...), тгх = пг2, г! (*) = ---------------------------— ,
mk mk
где a= ,m + ” Jcf fi=km 2 n1 2 . Это частное решение показывает,
что положение равновесия гг = г2 = 0 неустойчиво, так как для сколь угодно малых значений гг (0) и г2 (0) величины гг (t) и r2 (?) неограниченно возрастают при
t —>------ ----- .
(a — 1) Pri_1(0)
Приведенный пример показывает, что исследование устойчивости при c20co2 + сцо^сог + сог^ї = 0 надо проводить особо.
Если + п2(о2 Ф 0 при целых пг и тг2, удовлетворяющих условию 0 < | л* | + | га2 | ^ 2пг, то при помощи аналитического преобразования Биркгофа гамильтониан (1.2) можно привести к виду

Н — МіГі — со2га + 2 cif\rl + Н (гъ г2, ф!, ф2). (5.2)
»+j=2
86
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[ГЛ. 4
Здесь qt = V^sin фг, Pi = V2rt cos фг, В имеет период 2я по угловым переменным, й = О ((гг + г2)т+Ч*).
Рассмотрим многочлен
т
(5.3)
і+;=2
Если (е) ^ 0, то говорят, что имеет место общий эллиптический случай. В условиях теоремы Арнольда — Мозера неравенство h (е) ^ 0 обнаруживается по коэффициенту при е2 в многочлене
(5.3). Если же этот коэффициент равен нулю, т. е. условие (1.4) не выполняется, то в многочлене (5.3) надо получать коэффициенты при более высоких степенях є. При этом на ©! и (о2 надо накладывать более жесткие требования отсутствия резонанса, нежели требование (1.3).
Пусть первый, отличный от нуля, коэффициент многочлена
(5.3) обнаруживается при ет. Тогда справедлива следующая теорема [56].
Теорема. Если функция Гамильтона (1.2) такова, что
1) характеристическое уравнение системы с гамильтонианом Hz имеет чисто мнимые корни + ioji, ± і (а 2',
2) rejto! + n2(o2 Ф 0 при 0 < | «і | + | «2 | ^ 2т; (5.4)
то положение равновесия устойчиво.
Сформулированная теорема является простым обобщением теоремы Арнольда — Мозера на случай, когда исследование в гамильтониане (1.2) форм не выше четвертого порядка не может привести к строгим выводам об устойчивости положения равновесия Qi = Pi ~ 0 системы (1.1).
Доказательство этой теоремы можно провести совершенно так же, как это сделано Мозером [5] при доказательстве аналогичной теоремы при т = 2. Укажем основные моменты доказательства. Подробности изложены в [57]. Сначала надо привести функцию Гамильтона (1.2) к виду (5.2) и, используя интеграл Н — = const, свести систему (1.1) к системе с одной степенью свободы. Применяя затем теорему Мозера об инвариантных кривых к отображению, порождаемому полученной гамильтоновой системой дифференциальных уравнений второго порядка, можно показать, что при выполнении условия (5.5) на каждом уровне Н = const в любой достаточно малой окрестности начала координат существуют инвариантные торы системы (1.1). Отсюда следует устойчивость положения равновесия.
771
3) 2 Ст~i, i^h°h * Ф О,
(5.5)
i=0
ГЛАВА 5
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОМЕРНЫХ
ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1. Устойчивость многомерных гамильтоновых систем
для большинства начальных условий.
Результаты Арнольда
В этой главе будут рассмотрены некоторые задачи устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Под многомерной системой понимается динамическая система, число степеней которой больше двух или оно равно двум, но функция Гамильтона явно содержит время. Задача об устойчивости движения в таких системах полностью не решена до сих пор. Но прогресс в этой области весьма значителен, благодаря исследованиям Арнольда, Мозера, Брюно, Нехорошева и других авторов. Кратко рассмотрим полученные к настоящему времени результаты.
Остановимся сначала на результатах Арнольда по устойчивости гамильтоновых систем для большинства начальных условий [4, 102]. Пусть автономная гамильтонова система с п степенями свободы устойчива в линейном приближении и между ее частотами отсутствуют резонансные соотношения до четвертого порядка включительно. Тогда при помощи преобразования Биркгофа можно выбрать такую систему координат, что гамильтониан запишется в виде
Я = Я<°> (г) + НРЦт, <р), (1.1)
где г и <р — n-мерные векторы:
гт = (гх,. . ,,гп), фт = (фх,. . ,,фп),
П
Я( * (г) = А]/-! \nrn -f- 2 aijrirj (<Zij = aji)i (1.2)
І, 3=1
функция І/(v> имеет порядок, не меньший пятого относительно
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 106 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed