Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
где Н" — О ((| q j + | р |)6) и имеет период 2л по t. В (6.1) введены следующие обозначения:
2Я
С2 = ^ (3/2-40 + ^22 + 3/lc4) dt,
о
и40 = xi0 cos mt — j/40 sin mt, vi0 = yl0 cos mt -f- x40 sin mt, (6.2)
2Я
Xi0 = 2ЇГ \ Ко C0S mt + V’i0 sin mt) dt’
0
2Я
2/40 = 2Й- 5 Kocosm< ~ % sin mi) <Й,
0
w 1 /1 ¦ і ^ і ч - 1 у 1 ¦ і ¦ v
M4o = IT v 40 — 22 °4'’ v*° = *8" ' 13 — 31'’
Если X40 + 2/40 Ф 0, то можно перейти к переменным Г, ф по формулам, аналогичным формулам (5.9). Получим
Н = г2 (с2 + 62 cos 4ф) + К (г, ф, г), (6.3)
где Ь2 — kVх\0 у*ю, а. функция К = О (г'!*) и периодична по ф и t с периодами 2л и 8л соответственно.
УСТОЙЧИВОСТЬ В СЛУЧАЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА U
65
Теорема. Если | с2 | •< Ь2, то положение равновесия неустойчиво-, если же | с21 Ьг, то имеет место устойчивость по Ляпунову.
Для доказательства первого утверждения этой теоремы возьмем функцию Ляпунова
F = г2 sin 4ф; (6.4)
функция V будет знакопеременной в окрестности начала координат. Для ее производной получаем такое выражение:
^ = 8г3 (b2 + с2 cos 4g>) + О (г >2). (6.5)
При выполнении неравенства | с2 | < Ь2 функция (6.5) будет определенно-положительной в достаточно малой окрестности начала координат. Следовательно, положение равновесия неустойчиво.
Докажем теперь устойчивость при выполнении неравенства | с2 | <^ Ъ2. Нетрудно проверить, что в этом случае в системе с «укороченным» гамильтонианом
h = г2 (с2 + Ъ2 cos 4ф) (6.6)
переменная г будет периодической, а ф — монотонной функциями t. Сделаем каноническое преобразование, приводящее h к переменным действие I — угол W [8, 36]. Переменные действие — угол связаны с г и ф соотношениями
r = ff’ W=TT' *S(/f<p)= $r*p. (6.7)
о
Здесь S — производящая функция канонического преобразования г, ф —>¦ I, W. Интеграл в (6.7) вычисляется при условии
г2 (с8 + Ьг cos 4ф) = h, (6.8)
где h = h (I) — функция обратная к
4Я
1(Ь)= 2^Г \ rd(P; (6-9)
О
при этом г в (6.9) означает функцию г (ф, К), получаемую из (6.8) Заметим, что знаки коэффициентов с2 и Ь2 в гамильтониане
(6.3) можно считать одинаковыми. Если это не так, то, вводя вместо переменной ф угол ф — я/4, получим гамильтониан, у которого эти коэффициенты будут иметь одинаковые знаки. Введем обозначение к2 = 2Ь2/(Ь2+ с2). В силу условий доказываемой теоремы выполняются неравенства 0^&2<1. После несложных вычш> лений, использующих различные формулы для эллиптических функций и интегралов из [18, 26, 91], получим из (6.7) — (6.9)
З А. П. Маркеев
66
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[ГЛ. 3
явное выражение для производящей функции
S-WW)F{2(f'k% (6Л0)
где К и F — полный и неполный эллиптические интегралы первого рода, к — их модуль. Из (6.7) и (6.10) находим выражение старых переменных через переменные действие — угол:
лі 1 Ш (к2) /а л л\
--- ф = таш—W. (6.11)
2К (к2) lk^W ’ 2
Я
В переменных I, W функция Гамильтона (6.3) имеет вид
3=+ф(/’w> t]’ (6Л2) где функция Ф при достаточно малых / аналитична относительно У7, Ф = О (/*'*).
Сделаем еще одну каноническую замену переменных I, W R, Т:
¦ с2
R, W = sign (b2 + с2) Т, (6.13)
где о — малый положительный параметр (0<сг<^1). В переменных йи Т уравнения движения запишутся в виде
^ = oR + О (а»/*), ~=0 {о*2). (6.14)
Величины порядка а3'2 в (6.14) 2п-периодичны по У, 8я-периодичны по t и при достаточно малых а аналитичны по R в кольце 1 R *^2. Пусть 0 и р — начальные значения ї и й, лежащие в этом кольце. Проинтегрировав систему (6.14) от t = 0 до t = 8я, получим отображение кольца, которое сохраняет площадь, так как система (6.14) гамильтонова (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема [16]). При малых о это отображение имеет вид
тр = 9 + <т [8яр + Vaf (р, 0, от)],
(6.15)
R = р + оУо g (р, 0, а),
где / и g 2я-периодичны по 9 и аналитичны по р в кольце 1 ^ <Р<2.
Отображение (6.15) удовлетворяет всем условиям теоремы Мозера об инвариантных кривых. Поэтому в кольце 1 < р < 2 существуют кривые, инвариантные при отображении (6.15). Следовательно, траектория системы (6.14), начинающаяся между инвариантными кривыми, при всех t остается в кольце 1 < R < 2.
РЕЗОНАНСЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
67
Учитывая связь переменной R и исходных переменных, получаем отсюда устойчивость положения равновесия х = у = 0 системы
(3.1). Теорема доказана.
Сделаем в заключение параграфа два замечания. Во-первых, отметим, что при выполнении неравенства | с3 | существует
степенной ряд (возможно, расходящийся), который формально является знакоопределенным интегралом системы (3.1) [1581. Согласно только что доказанной теореме, из существования формального интеграла в нашей задаче следует устойчивость по Ляпунову.
Второе замечание касается «критического» случая | с2 | = Ьг. В этом случае члены четвертого порядка по х, у в гамильтониане
(3.2) не решают вопроса об устойчивости. Система с «укороченным» гамильтонианом (6.6) неустойчива. Но члены более высокого порядка могут либо сделать ее устойчивой, либо оставить неустойчивой. Первый случай реализуется, например, в системе с гамильтонианом
Я = г2 (1 + cos 4ф) 4т г3,
