Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, теорема Мозера об отображении (2.1) устанавливает существование бесконечного числа инвариантных кривых, лежащих в кольце 0 <С а ^ р ^ Ъ. Этими инвариантными кривыми кольцо 0 <С а р Ь разбивается на бесконечное число колец, отображающихся при помощи (2.1) на себя, и, следовательно, образы всех точек, лежащих внутри этих колец, ограничиваются при всех итерациях отображения (2.1). Для дальнейшего полезно отметить, что условие теоремы Мозера о пересечении кривой и ее образа, очевидно, выполнено, если отображение (2.1) сохраняет площадь.
§ 3. Теорема Арнольда—Мозера об устойчивости гамильтоновой системы с одной степенвю свободы в общем эллиптическом случае
Рассмотрим гамильтонову систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dx дН dy ЭН ,о л\
= ИГ = --5Г-
Пусть начало координат х = у = 0 является положением равновесия этой системы, а функция Гамильтона Н — аналитическая в окрестности х = у — 0 и 2я-периодична по t:
ОО
Н=%Нк (х, у, t), #*=2 ау„ V, (t)
2 Vi+V2=)C
av„v2(? + 2n) = aVl, V2(0- (3-2)
В (3.2) Vi и v2 — целые неотрицательные числа, Ovt, v, (t)— непрерывные функции t.
Рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия х — у =0. Предположим, что линеаризованная система устойчива,
ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
59
а ее характеристические показатели + і Я, таковы, что величина кК не будет целым числом при А: = 1, 2, . . . , 2п(п — произвольное целое число). Тогда при помощи преобразования Биркгофа можно выбрать такие координаты и импульсы х, у, что функция Гамильтона (3.2) запишется в виде
я = кг + (у2 + . . . + спгп + Н' (х, у, t) (2г = ж2 + у2). (3.3)
Здесь Я' — аналитическая относительно х, у функция, имеющая по х, у порядок, не меньший, чем 2п-\-1. Кроме того, Я'2л-пе-риодична по t.
Общим эллиптическим случаем называют случай, когда среди постоянных с2). . . , с„ есть отличная от нуля. Согласно Арьольду и Мозеру [2, 3, 72], в общем эллиптическом случае положение равновесия х — у = 0 системы (3.1) устойчиво по Ляпунову.
Если число кК будет целым, то, вообще говоря, функцию Гамильтона (3.2) в виде (3.3) записать нельзя, а положение равновесия может быть неустойчивым. Ниже будет исследована задача об устойчивости в резонансных случаях, когда число кк — целое при А: 3. Многие частные случаи неустойчивости в этой задаче
рассмотрены в работах Леви-Чивита [151], Зигеля [28], Мермана [71], Каменкова [31], Мустахишева [74]. Основной результат проведенного в этой главе исследования состоит в утверждении об устойчивости (при выполнении некоторого неравенства) в случае резонансов четного порядка (число к — четное). Кроме того, при помощи второго метода Ляпунова получены критерии неустойчивости при резонансах произвольного порядка. При изложении мы в основном следуем работе [53].
§ 4. Линейная нормализация
Будем исследовать устойчивость положения равновесия системы (3.1) внутри области устойчивости системы ее первого (линейного) приближения. Это означает, что число 2А,,— нецелое. Для дальнейшего потребуется вещественное, каноническое, 2я-перио-дическое по t, линейное по х, у преобразование х, у —> q, р гамильтониана (3.2) к такой форме, когда его квадратичная часть имеет вид
#2=4-м?2+р2)-
Задача нормализации линейной гамильтоновой системы с п степенями свободы рассмотрены в главе 2. Нормализация системы с одной степенью свободы особенно проста и будет здесь проведена способом, отличным от изложенного во второй главе.
Линеаризованная система (3.1) имеет два линейно независимых решения
а, = фj (t) е*>*, р, = i|>; (*) (; = 1, 2), (4.1)
60
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[ГЛ. 3
где ^ = — Х2 = — X, а периодические функции ф/, ^ удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
Очевидно, что если начальные значения фх, будут комплексно сопряженными соответственно с начальными значениями ф2, ^2> то в силу однородности системы (4.2) эти функции будут комплексно сопряженными и при всех t. Тогда можно положить
где zk — вещественные периодические функции t. Согласно (4.2), они удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравне-
Далее, нетрудно проверить, что линеаризованная система (3.1) имеет два независимых интеграла
Это преобразование будет каноническим (но не обязательно унивалентным), так как функции z* удовлетворяют соотношению
в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.
Выберем начальные значения функций zk так, чтобы начальные значения функций фх, tf>i и ф2, т)з2 были комплексно сопряженными, а постоянная в правой части (4.7) равнялась единице (для унивалентности канонического преобразования (4.6)).
(4.2)
Фі = % + «г, 'I’l = «З + Щ, Фг = Фі* 'Ра = “Фі*
(4.3)
ний:
dz-
(4.4)
(и + iv)e~iU, (и — iv)eiM (и = z3x — zxy, V = zAx — z2y).
(4.5)
Введем новые переменные q, p формулами
q — v, p — и.
(4.6)
COllSt,
(4.7)
5 4) ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 61
Обозначим через х} (t), у} (t) (j — 1, 2) решения линеаризованной системы (3.1), удовлетворяющие условиям
Х1 (0) = у2 (0) = 1, хг (0) = у! (0) = 0.
Тогда начальные значения функций фу, г|)у найдутся из следующих систем уравнений:
