Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Н = ~2~ (Яі + я\) + 0) (ЯіРі Я2Р1) + ^ ^яг^гЯі'я'ьРі'Рі2-
Vi+V2+m+H2=3
(4.8)
При помощи преобразования Биркгофа в функции Гамильтона (4.8) опять можно полностью уничтожить члены третьей степени, а совокупность членов четвертой степени можно упростить. В результате функция (4.8) приведется к виду (обозначения для переменных снова не меняем)
Н = -у (^ї + д^) + ® ІЯіРі — 92.P1) + (Pi + р\) [А (р\ + pt) +
4* В (ЯіРї — Я2Р1) + С ІЯі + я\)\ + • • • (4-9)
В (4.9) не выписаны члены выше четвертого порядка и введены следующие обозначения:
11 1
А = к%оо2> В =-----------?-(^2011 + ^1102)1 С =----4~(2с20 + сп + 2с02),
^2002 = ^2002 4" 3 (в9, to — Bio, 9) 4~ 2 (в2, а — Щ, 2) + Щ, 6 — мб, з>
^2011 = 2/2011 - бУю, 8 — 4^3, 1 + 2У6, 2 + 2у9, 9 + У2, 2 -------------------- 1>6, Зі
^1102 = 2/2011 — 6у8, ю — 4уі, з + 2у2, 6 + 2у9, 9 + у2,2 — ^з, б>
С20 = ^2020 — 9вю, 7 4- 4и6, 1 + м1, в 4" м9, 8 — м5, 2 — м4, Э)
Сц = ^1111 + 4 (в9, 8— И8, 94- И4, з— Из, 4) + 2 (и6, 5 — U5,e4- М2,1— Ml, 2),
с02 = а;2о2о 4" 9в7, ю — 4иі, 6 — м6, і — и8,9 4- м2,5 + и3) 4,
*^2002 = ~2~ (3^0040 4" ^0022 + 3A0004)>
2/2011 = (-- ^1021 - ЗАюоЗ 4" ЗАоїЗО 4" ^0112)!
I
#2020 = —?~ (h2020 - hi002 4" А.ЦЦ -- А0220 4" ^0202)1
#1111 = -— (Л2020 4" ^2002 4" ^0220 4" ^0262)5
iii, у = 6iXj 4“ fiVji j еі2/у (^» / 1» 2,..., 10), О со ,
ег = Qj/i + Q2x2 — 2?l3y3, fi = — Ша 4- П22/2 4- 2Q3x3,
е2 = О2/2 4" 20?х3, /2 = — Qx2 4- 2Q.2y3,
е3 — Ог/з /з = — Ох3,
е4 = Q2/4 — Q2 (xx — х5) 4- /4 = — ^4 — (2/1 — 2/б) —
4“ 2Q3 (у2 — 2/в) 4- 6Q4x3, — 2Q3 (эсъ 4" 6Q.*y3,
СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ
83
еъ = Q.y6 — Q2 (х2 — 2хв) + 4Q3y3, е6 == Пув
3 "»¦' 1 g
____ОЗі/_
27
Q%,
I I
Є7 — ~o~ ^2/7 4----n“
/5 = — Ог5 — Q2(j/2 — 2ye)— — 4Q3x
/6 = — Sir6
/7 = -4
&2Уа,
¦ ?ir7 -I—q fi22/s
27
Q3.rq
I
^42/io,
e8 — “q- ^2/8 4 g- ----------------------Ц- ^32/lO? /в — ------------~ &Xg -\--------5- Q2y9 +
9
<?9
I
I
%9
• Q2x10,
1
4----g- ^3^10*
1
eio — ~ ^2/ioj Xi = х*12У~2,
# 1
Xi = ----- /1*2010 ¦
Xn — — 2Ai
^1101 ~b ^02X0, — 2^X002,
x3 — — ЗА0030 —¦ ho ?4 = ЗА3000 + hX200!
x§ — 2Л.20Х0 ~b 2h,
0210>
/9 —---------------3- ^9 ~\—3- ^22/ioi
fi0 =------------------------g- ?ї#хо»
Уі = У*/2V2 (і = 1,2,..., 10),
Уі = ^200X-------^ХІХО ---- ^020X>
2/2 =------2Л.0Х20 — ^0X021
Уз — ----- ^0021 ---- ЗЛ.0003,
2/4 = ^2100 + ЗЛ.0300,
2/5 = 2A2oox “Ь 2Л.02бх?
— ^1020 ^Х002 + Лоххі, У* = ^•10X1 ^0120 + ^0102,
7 — fl'.iOOO — ^1200, 'у* = ^•2100 ^0300'
= Л.20Х0 ^1101 ^0210, со # II ^200Х + Лхіхо ^020Х>
X* 9 = ^1020 — ^Х002 ^01X1, 2/* = ^1011 + ^0X20 ^0X02,
Х10 = ^0030 ^0012, II * S За ^002Х ^0003'
(4.10)
Прежде чем сформулировать теорему об устойчивости системы (1.1) в случае, когда матрица линейной ее части не приводится к диагональному виду, введем согласно [157] понятие формальной устойчивости.
Решение Хі = у і = 0 (і = 1, 2, . . тг) системы
dx. ян dy.
(*==1,2,..., тг),
dt
дН
дУ; ’
dt
дН дх¦
где Н—2я-периодическая по t, аналитическая по х1? . . ., хп, г/х,... . . уп функция, называется формально устойчивым, если существует степенной ряд G, возможно расходящийся, который формально является определенно-положительным интегралом с периодом
84 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
2п по t. Иными словами, все коэффициенты, степенного ряда
V —— — і
Ъ дУі дУі &хі д* i=l
тождественно равны нулю, а конечное число форм наименьшей степени в ряде G представляет собой определенно-положительную функцию Хи . . ., Хп, Уи . . Уп-
Теорема. Если в нормальной форме (4.9) А 0, то положение равновесия qi = Рі = 0 (і = 1, 2) системы (1.1) формально устойчиво', если же А < 0, то имеет место неустойчивость по Ляпунову.
Можно показать, что при помощи бесконечного числа шагов преобразования Биркгофа (возможно, расходящегося) функцию Гамильтона (4.9) можно привести к виду
Н = ~2~ (q і + q\) + fi> (qiPi — QiPi) +
+ (Pi + РІ) № (Pi + РІ) + В (qiPi — q^Pi) + С (q\ + g2)] +
oo
+ Yj hw^(ql + ql)ai(pl + pl)ai(QiP2 — q2Pi)a’- (4.11)
ai+a2+a8=3
Каноническая система с гамильтонианом (4.11) имеет два формальных интеграла Н — const и q^p2 — «fePi — const. Следовательно, выражение G=H — и (gj92 — <7гРі) также будет формальным интегралом системы с гамильтонианом (4.11). А так как при i>0 в разложении
G = G2 + ?4 + ^6 + • • • + ?2 тп +
функция
^2 + ^4= ~2~ (?i “Ь 9г)
+ (Рі + РІ) [А (р\ + р\) + В (qiP2 — Q2P1) + С (qx + ?г)]
будет определенно-положительной функцией своих переменных ?i, Pi, Р21 т0 отсюда следует формальная устойчивость положения равновесия.
Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой Ляпунова о неустойчивости. За функцию Ляпунова примем знакопеременную функцию
^ = Я1Р1 + Я.їРч-
Ее производная, составленная в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.9), будет такой:
"df — — (?ї + ?г) + 4А (р\ + Р2)2 + 2.В (р\ + р%) (qxp2 Я2Р1) + • • • >
(4.12)
СЛУЧАЙ с20ш2 +с„ШіШ2+со2йі*= О
85
где не выписаны члены, порядок которых не меньше пятого относительно qi, Pi (і = 1,2). Функция (4.12) при А О будет определенно-отрицательной. Таким образом, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости, и, следовательно, положение равновесия = Pi = 0 (г = 1, 2) системы
