Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
обозначение
Ь = сгг (v1 — jix) + <т2 (v2 — Иг)- (7.13)
Из общего решения уравнений (7.12):
і
w (t) = w (0) e~ibt 4" е~ш J eibx (a' — a) da
о
следует, что если число Ь не будет целым, то при любой функции а' решение w (t) будет 2л-периодическим, если
2Я
j eibx(a — a')dx "(0)= - ------------------•
В этом случае, следовательно, можно положить а' = 0. Если же число Ь — целое, то при а' == 0 периодическое решение уравнения (7.12), вообще говоря, не существует. Чтобы оно существовало, следует положить
а' — се~т,
где
2Л
с = ± jj e™a(t)dt, (7.14)
О
и периодическое решение уравнения (7.13) будет иметь вид
і
w(t) = w (0) er-tM 4- e~ibt j* (с — aeibx) dx
о
при произвольном значении w (0). В любом олучае коэффициенты производящей функции S связаны соотношением
а потому новые переменные qрк, как это легко проверить при помощи (7.8), будут комплексно сопряженными.
Проведя такое исследование уравнения (7.12), рассмотрим случай комбинационного резонанса ах (а0) 4- сг2 (а0) = N. Функция Гамильтона (7.9) в этом случае может быть приведена описанным выше способом к виду
Я' = іаг (а0) q[px 4- іа2 (а0) q^ + і (а- а„) (g q[p[ + g q^ +
+ є {ciworimq'xq'<l 4- coouei!ft p'^) 4- ..., (7.15)
50
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
где
ал 2л
Ciioo = 2^ eiNta110о (t) dt, e0on = ^ е_Ш'аооіі (0 dt (7.16)
О о
(Сцоо = — Cooil).
Теперь введем вещественные переменные гк, соотношениями
д'к = У2Г^\ Р’к = YW^K (7.17)
Преобразование (7.17) является каноническим с валентностью-^-.
В переменных гк, фк функция Гамильтона будет иметь вид
Н = (Ті (о-о)^ -{- а2 (а0)г2 -f- (а — а0) ^ -f- +
+ Є У^Г1Г2 [а1100 C0S (фі + ф2 - і) —Plioo sin (фі -j- фг — Nt)] .
(7.18)
Величины а1100 и р1100 выражаются через коэффициенты Фурье, соответствующие Лг-й гармонике некоторой линейной комбинации функций Aviviv.v. (t), входящих в исходный гамильтониан (6.4). Используя (7.6), получаем для них такие выражения:
2Л
аиоо = ^ ^ [(^оон — hnoo) cos Nt -f- (Аюоі + Aono) sin Nt]dt,
I* (7.19)
Pnoo = ~2^ ^ [(^looi + Лию) cos Nt — (Aoon — ^1100) sin Nt\ dt.
о
Сделаем еще одну каноническую замену переменных rk, <pk~-+Rk, i|v
7"l -Я].» ^*2 /fj 2Q\
Фі = аг (a0)t + Tfi, ф2 = a2 (a0)t + ^2 + 0, где ____________
sin 0 = —ац00/6, cos0 = Рп00/6, 6 = ацоо Рїюо-
Тогда изменение переменных Rk, будет описываться дифференциальными уравнениями, задаваемыми функцией Гамильтона
Н = (а — a0) + єб]/ R1R2 sin (i|>ij+ ^a) + ... (7.21)
Выпишем соответствующие дифференциальные уравнения, пренебрегая членами выше первого порядка относительно е и (a—ot0):
Іії = Ж = — еб УRlR/1 cos (Ч’і + Ф»).
ІЙШЙ. = („ _ „.)Щ±*> + 4-,6sin », + «. <7’22>
НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
51
Очевидно, что в первом приближении по е задача об устойчивости относительно у и в исходной системе с функцией Гамильтона (6.4) эквивалентна задаче об устойчивости относительно й, и в системе (7.22). Покажем, что в первом приближении по є область параметрического резонанса задается неравенствами
66 + а„ < а < а0 +(7-23)
d (61 + 62)
и что если эти неравенства не выполняются, то система (7.22) устойчива.
Действительно, второе утверждение следует из того, что функция
V = (Дх — Rzf + Я»
является интегралом системы (7.22), который как легко проверить, будет знакоопределенным, если неравенства (7.23) не выполняются. Следовательно, согласно теореме Ляпунова, система (7.22) устойчива. Утверждение о неустойчивости следует из существования при выполнении неравенств (7.23) экспоненциально растущего со временем решения системы (7.22):
+ ^2 = я 4- arcsin Ъ, (t) = Д2 (t) = Ri (0) ее? ^і-ьч (7.24)
(h — а~~ a°d(lS> + бяЛ
\ ~ е6 da0 ) '
Случай простого параметрического резонанса рассматривается аналогично. Пусть, например, выполняется соотношение 2ох (а0) = = N. Тогда область параметрического резонанса в первом приближении по є задается неравенствами
~ nt- + ““<a<ao+ ТЩ' <7'25>
I da0 I da0 |
____________ »
где теперь 6=1^а^ооо + Рмоо, а величны а2000 и р2ооо выражают-ся через коэффициенты исходного гамильтониана по формулам
2Я
1 4*
<*2000 = ~2^ \ [(А0020 — ^2ooo) cos Nt -f- A1010 sin 7V?] dt, (7-26)
— 2^" ^ [^1010 cos Nt —¦ (A0020 — A2000) sin Nt] dt.
ГЛАВА З
УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 1. Преобразование Биркгофа
В этой главе изучается устойчивость положений равновесия гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Предполагается, что функция Гамильтона Н аналитична относительно координат и импульсов в достаточно малой окрестности положения равновесия (совпадающего с началом координат) и 2я-периодична по независимой переменной — времени f. Рассматривается только тот случай, когда линеаризованная система устойчива (так называемый эллиптический случай).
При исследовании функции Гамильтона с помощью канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа [7], будет приводиться в окрестности начала координат к некоторому простейшему виду (к нормальной форме) и в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы будут сделаны выводы об устойчивости или неустойчивости положения равновесия. Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно, предполагая, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы. Итак, пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений
