Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
dgt _ дН ^Р±__ЭН_ , 12 ч (i
~Jt ~ dt - дЯі (l.l)
где Н — аналитическая функция относительно qt, pt (і — 1,2,. .., п). Предполагается, что она либо непрерывна и 2я-периодична по t, либо от t не зависит. Начало координат qt =pt = 0 (і = 1, 2,..., п) является положением равновесия, так что разложение Н начинается с квадратичных членов
Н = Н2 + Н3 + Я4 + . . . , (1.2)
где Нк — однородный многочлен степени к относительно координат qt и импульсов pt.
Если предположить, что линеаризованная система (1.1) устойчива, а ее мультипликаторы различны, то без ограничения общности (см. §§ 2 и 5 главы 2) можно считать, что Н2 имеет нормальную форму
П
*. = тІЛ<«? + Л>- (1>3)
3= 1
§ 1| ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИРКГОФА 53
Тот факт, что мультипликаторы линейной системы различны, означает, что характеристические показатели + iOj (/ = 1,2,..., п) таковы, что в системе отсутствуют резонансы до второго порядка включительно, т. е. число
тха1 + nhflz ~г ¦ • • + тппоп ф 0 (mod 1) (1.4)
при целых числах тг, удовлетворяющих неравенствам
I mi ! + | т2 | + . . . + | тп | = к (к = 1,2). (1.5)'
В случае автономной системы знак ф 0 (mod 1) в (1.4) надо заменить на знак Ф 0.
В системе (1.1) сделаем каноническую замену переменных
Ції Pi'-* ЯіРі при помощи формул
+ Р^Рі + Щ (* = 1.2,....п), (1.6)
где вещественную однородную третьей степени ПО qi, Pi функцию S9 (qi, pi, t) попытаемся подобрать так, чтобы она была 2я-периоди-ческой по і, а в новых переменных qi, pi функция Гамильтона не содержала бы членов третьего порядка относительно qu р^ Функция Н3 может быть записана в виде
я3= 23 \....мп?? • • • чіпрі' • • • (1Л>
Vi+...+|ln=3
где коэффициенты hVl.....(іп либо постоянны, либо 2я-перио-
дичныпо і. Величины Vj, . . ., |^п — целые неотрицательные числа. Функцию Sз ищем в виде, аналогичном (1.7):
S3= 2 sv.......^. .. ЧппР\1 • ¦ ¦ Рпп’ (!-8>
^+...-Ніп=з
где подлежащие выбору коэффициенты Sv, либо постоянны (если ПОСТОЯННЫ коэффициенты Hn)»..либо 2л-периодич-
НЫПО t (если 2п-перИОДИЧНЫ ПО t коэффициенты fcv,... (1П).
Соотношения (1.6), рассматриваемые как уравнения относительно ?і> Pi (і = 1,2,..., п), показывают, что величины g1? pt (на основании теоремы о неявной функции) при достаточно малых q\, р[ (г= 1, 2, . . ., гг) будут аналитическими функциями в окрестности начала координат ql = р[ — 0. Отсюда следует, что
, р\, i) dS^, р[, t)
= ---------JFi— + -'-’ ^ = + —a?t— + •••’ (1-9>
где невыписанные члены имеют порядок выше второго относительно q'i, р\.
54 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
Новый гамильтониан Н' (<?*, р\, t) вычисляется по формуле [16]
dS,(q,, p., t)
H' = H(qvpvt)+--------- % , (1.10)
где правая часть формулы (1.10) выражается через qi, р\ по формулам канонической замены переменных (1.9). Подставив (1.2), (1.3) и (1.9) в правую часть (1.10), получим
+ н3(д:,Р:, <) + # + ••• (1.11)
В (1.11) S3 — S3 (ql, p'i, t), а невыписанные члены имеют порядок, не меньший четвертого относительно q\, р\.
Чтобы в функции Гамильтона Н' не содержалось членов третьего порядка q\, р[, нужно потребовать выполнения следующего
тождества:
/ . dS3 , dSs\ . „ , , . , ds3(?i> Pi> *) n
Яз s ^ a} (P} -1- - q} + Я3 (q., Pi, t) +----m-----0.
i“i 5 3 (1.12)
Чтобы из (1.12) найти коэффициенты sVl....функции S3, удобно
перейти к комплексным переменным. Положим
ui = q'i + ip'i' vi = q] — ipj (/=1.2, ...,re). (1.13)
Здесь через і обозначена мнимая единица (і2 = —1).
Нетрудно проверить, что тождество (1.12) в комплексно сопряженных переменных Uj, Vj перепишется в виде
¦ L - “4^)+¦ “-Ф • <)+f=»•(1 -14>
где
С _с (ui + vi ui-vi.t)
a3 — 2 ’ 2І ’ /’
Введем обозначения
? *,.....«...ДО...*. (1.15,
Vi+...+tin=3
X, ^..........».“г- *№¦¦¦<'¦
V,+...-Hi„=8
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИРКГОФА
55
Здесь gv„ . . . , (in и /Vl, . . . , цп — комплексные коэффициенты, которые связаны с коэффициентами hv,, . . . , (in и sv„ . . . , ^ при помощи линейной системы алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Приравнивая в тождестве (1.14) нулю коэффициент при щ1. . . . . i^n, получим линейное дифферен-
циальное уравнение для нахождения /Vl,..., (in dfv „
---ijrL-2- + і vi) + • • • + on(fxn— v„)] /Vj.- gVli...iMn,
(1.17)
Пусть исходная функция Гамильтона (1.2) не зависит от времени. Тогда вместо дифференциального уравнения (1.17), для нахождения /Vl,..„ (in получим алгебраическое уравнение
(Ці Vi) -(- On (Цп Vn)]/v„ . . . , (in “ 4>v» • . • . H-n* (1-18)
Справедливы следующие соотношения:
І Ці — vi I + • • • + І — vn I ^ [ii + Vi -К . . + (in + vn = 3-
(1.19)
Таким образом, если величины alt. . . , оп не связаны резонансными соотношениями до третьего порядка включительно, т. е. если
-|- . . . + тпап Ф 0 при 0 < | т1 | + . . . + | тп |< 3, (1.20) то, выбрав величины/v„ ...,(% согласно формулам / =_‘Ч ^п_
V1 >‘и — v1)+...+ an((in— Vn) ’
получим новую функцию Гамильтона Н' такой, что в ней будут отсутствовать члены третьего порядка по g,', pt'.
Если в (1.16) будет сделана замена перегонных, обратная
(1.13), то придем к вещественной замене переменных (1.9).
