Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Н = \ О»* + “ЇФ — 1Г^2 + + Yj
Vi-fV2+Hi+H2=3
(2.1)
Для приведения гамильтониана (2.1) к виду, удобному для применения преобразования Биркгофа, сделаем каноническую замену переменных
& = Т + І рі’ Рі = І Іщді + рі’
і . 1 . 1 , . . <2-2> ?2=— у?2 + ~Р2. Ря-— 2-Шя?, + »Р,
(і2 = - !)•
В новых переменных функция Гамильтона запишется в виде
тг v 'VI 'V, /М-1 'М-J /г)
Н — №>14* рл + 1<в2<72Р2 4~ \izQi Qi Pi Pi • (^-3)
Vi+V.+|ll+|l2=3
РЕЗОНАНС ?0i = 2c0j
71
Коэффициенты формы третьего порядка в (2.3) выражаются через коэффициенты функции Гамильтона (2.1) по следующим формулам. Обозначим через и yV{Vlllilz следующие десять пар
вещественных величин:
1 , 1 ,
Уоозо = гг fti020 -о «'зооо!
#0030 — ^оозо 1 0 ^2010!
<
#1020 = 1 — 2 ^¦1020 3 2(02
і За»! 7 і 1 »
^ЗОООі 2/l020 = ~2~ «0030 Т 2^ 2010’
0>2т і J- 7 I (O2 7 _ 1» (0-2 7 І її
#0120 = —2 0021 ' ^i1110 ' 2o^"-200112/0120 = —2 0120—2^1011 ' 2co^
#1011 = — ®Ло21 — 77 ^200H 2/lOH — 77^0120 + 77~^2100)
(0^ (O2 0JjC02
#0021 = “^0120 ---- 77^1011----------------------------------------------------5^2100> 2/0021= ^0021+ .7777^1110-2 00ІІ
W2 <*>1 <D2(o“ ®1Ш2 (0‘
(Ol 7 1 , , 1 , COi , .
#1002— -----2^ 0111—^'2_Л1002 + ^5“'1200! 2/1002 —------2 “'0012 +
I “l Ъ I 1 I,
' 2<bj 0210 Лі101'
#0012 = —^ооігН-----------------------------5"^02io—7777^1101» 2/0012=77^0111—77Л1002Н-з^шо»
CO2 wltt>2 ш2 Ш1 COjCOl
#0111= 77^1002+ 7777^12001 2/om= — Щк0012— 77^0210,
UJjUJg UJ2
Щ, 3 , _ Зсо* 1
#0201—------4 «0102—"4^ 0300ї 2/0201------ «0003 “Г «0201>
#0003=—тт^оіогН------------------------гЛ.0300! 2/оооз=—'^ооозН----» ^0201- (2-4)
“2 (О® Ш2
По этим десяти парам а\,іУ2І11ц2, i/v^n^i, вычисляются соответст-
вующие коэффициенты ^vlV!tll(i2 из (2.3):
^ViV2HlHi = #ViV2HlH2 4" ^2/viVjHi|X2- (2-5)
Остальные десять коэффициентов An*4v>v« формы третьей степени в (2.3) вычисляются по формулам
/ (01\^1_Vl /co2\^-Vz
^|XlHzVlV2 = (2/viV2h,h2 + i#ViV2|XlH2) 2 / ("г") (2-6)
Применив преобразование Биркгофа qj, pj —> qj, pj, уничто-
жим в функции Гамильтона все члены третьей степени, кроме резонансных. В новых переменных гамильтониан станет таким:
Н = іщду; + m2q'2pl + h’iw2qiP"22 + h'^p[ + . . . (2.7)
72 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
Будем считать, что х\т + 1/1002 Ф 0- Выполним еще несколько канонических преобразований. Во-первых, вернемся к вещественным переменным, сделав каноническое преобразование
ЧзРз Я}Рз‘‘
= -7=- (71 — ipi). % = -TF=- {Щг — Р2),
1 {28) p"i = НГ (~ + 20 • ¦= нг (^2 ~
Во-вторых, введем полярные координаты г;, фг при помощи канонической замены переменных
Чз = V2rjsin (ф,- — 0у), Ру = COS (фз — 0j) (7 = 1, 2), (2.9)
где 02 = 0, a 0j определяется из соотношений
Sin ft, = —-Jfo02 - COS 0! = —7======
' ^1002 "Ь ^1002 ’ I1002 “Ь ^1002 •
В полярных координатах функция Гамильтона имеет вид Н = 20V! — GVi — у ю2 (а*^ + г/2^) га У7г sin + 2фа) +
+ В (г3-, ф,), (2.10)
где й имеет период 2п по ф^ и Е — О ((гг + г2)2).
Теорема. Если гамильтониан возмущенного движения таков, что ?1002 -f- у\оо2 ф 0, то положение равновесия неустойчиво. Если же #1002 + г/1002 = 0, а с20 + 2си + 4с02 Ф 0, то имеет место устойчивость по Ляпунову.
Для доказательства неустойчивости сначала при помощи интеграла Н = const понизим порядок системы на две единицы [90]. Для доказательства неустойчивости положения равновесия достаточно показать его неустойчивость хотя бы на одном уровне энергии Н — const. Рассмотрим уровень Н = 0. Из уравнения Н — 0 при достаточно малых гх и гг получаем
Гі = —К = у r2 + ^Vr2ffl,(a^001+ у*Ш2) ra^sin^! + 2ф2) +
+ 0(1$. (2.11)
Мы получили, таким образом, каноническую систему с одной степенью свободы и с функцией Гамильтона К. Новой независимой переменной является угловая переменная фг.
Введем вместо переменных г2, фа новые переменные Г, ф по формулам
. 1
г = г2, ф — фа + "2 Фі*
РЕЗОНАНС (Oi —3<0j
73
Тогда получаем систему с такой функцией Гамильтона:
К = Koos + 2/1002) г ^sin 2(Р + 0 (г2)- (2Л2)
Из уравнений движения системы с гамильтонианом (2.10) следует, что при малых гх и г2 угловая переменная ф! будет монотонно возрастающей функцией времени t. Поэтому в задаче об устойчивости переменная ф! может играть ту же роль, что и время.
Чтобы показать неустойчивость, воспользуемся теоремой Ляпунова о неустойчивости. Функцию Ляпунова V возьмем в виде
V = гУ г cos 2ф. (2.13)
Ясно, что V является знакопеременной функцией. Для ее производной получаем такое выражение:
ж= 4 v"2”- <**»»+с»)г’+<2-14>
Функция (2.14) определенно-положительная в окрестности начала координат. Следовательно, согласно теореме Ляпунова, имеет место неустойчивость.
Пусть теперь Яіоог + г/1002 = 0. Тогда в гамильтониане (2.7)
„ „2 , „2 „
отсутствуют резонансные члены 7ііоо2<7іР2 и ^02ю?2 Pi, а функцию Гамильтона, несмотря на наличие соизмеримости со1 = 2со2, при помощи преобразования Биркгофа можно привести к виду (1.5). И тогда выполнение условия (1.4) теоремы Арнольда — Мозера гарантирует устойчивость. Таким образом, при условии а%ш + + 2/1002 = 0 и е20 + 2сп + 4с02 ф 0 положение равновесия устойчиво. Теорема доказана.
