Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи канонической замены переменных уничтожить члены четвертой степени в гамильтониане. Это, однако, не удастся сделать, и в новом гамильтониане останутся некоторые члены, имеющие вполне определенную структуру.
Если величины ап не удовлетворяют ни одному и»
резонансных соотношений до четвертого порядка включительно, т. е.
тп1а1 + . . . + тппап Ф 0 при °< 1 mi I + • • • + |™п|< 4, (1.21)
то в гамильтониане Н4 можно уничтожить все одночлены четвертого порядка, кроме тех, которые содержат Uj и Vj в одина-
56 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. з
ковых степенях. Действительно, уравнение (1.18) неразрешимо, если ц* = vk (к — 1, 2, . . . , п). Тогда в
ту' ( ui + Vi ui~vi\ "4-----2 ’ 2Ї )
останется совокупность одночленов вида
2 ... v V V («лГ-••(«»**»)**• (1-22)
і.. «’ і.. п
В переменных q/,p/ эта совокупность одночленов в ИГ*' имеет вид
^ ....«„ (?;Чр;2)“‘..-(?;2+р'і)“п (і.2з>
o^+...+с^а " ’
где аа1, . . . , ап — вещественные величины.
И, вообще, для автономноё гамильтоновой системы справедливо следующее утверждение. Если частоты колебаний О] линейной системы не связаны резонансными соотношениями до порядка N включительно, т. е.
ТП& + .. . + тпоп ф о при 0 < IТП1 | + . . . + | тп |< N, (1.24)
то существует вещественное каноническое преобразование qt —
— qi + • • • > Pi ~ Pi + • • • /задаваемое сходящимися в окрестности начала координат рядами, такое, что функция Гамильтона
(1.2), выраженная через р'г, имеет нормальную форму
Я (ql, pi) = S (гг, . . . , r„) + Я (q'u p'i), (1.25)
где Н — многочлен степени [N/2] относительно г„. . . , гп и Я — сходящийся ряд по степеням qi, pi, начинающийся с членов порядка N + 1:
Чі
— У 2 г і sin Рі — У 2 r і cos фг (і 1, 2,. . ., n). (1.2б)
Это утверждение нетрудно доказать методом математической индукции. Отметим, что постоянные коэффициенты многочлена В ...,гп) не зависят от порядка^ нормализованных членов и от способа приведения функции (1.2) к нормальной форме (1.25): они являются инвариантами гамильтониана (1.2) относительно канонических преобразований [11, 12, 29].
Для случая 2я-периодической по t функции Гамильтона (1.2) результаты аналогичны. Существование 2я-периодического решения уравнения вида (1.17) было нами уже подробно исследовано (см. уравнение (7.12) второй главы). Выводы, которые получаются в этом случае, аналогичны только что сформулированным для случая автономной системы. Только в (1.24) знак Ф 0 надо заменить
ТЕОРЕМА МОЗЕРА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ КРИВЫХ
57
на знак ф. О (mod 1), а нормализующее преобразование и функция В будут 2я-периодическими по t.
Если величины Oj таковы, что условия (1.24) выполняются при любых сколь угодно больших N, то преобразование Биркгофа можно применить для нормализации функции Гамильтона во всех порядках. И тогда нормализованный гамильтониан будет зависеть только от переменных г7- (] = 1, 2,. . . , п), которые будут интегралами преобразованной системы. Но каноническое преобразование Биркгофа, нормализующее гамильтониан во всех порядках, будет, как правило, расходящимся [11, 12, 29, 30]. Поэтому и интегралы г7- будут формальными, т. е. они представляются в виде расходящихся рядов по qt, pt.
В дальнейшем мы обычно будем проводить нормализацию функции Гамильтона лишь до конечного (и даже сравнительно невысокого) порядка. Так что, как правило, применяемое нами преобразование Биркгофа будет аналитическим.
§ 2. Теорема Мозера об инвариантных кривых
В этом параграфе рассмотрим одну геометрическую теорему Мозера [72, 73], существенную для дальнейшего. Эта теорема относится к отображениям плоского кольца, сохраняющим площадь. Приведем формулировку теоремы Мозера. Пусть задано преобразование действительных переменных 0, р -* 0Х, рх:
0Х=0 +Y [а(р) + F (р, б)], рх = р 4"7^(р» (2-1)
Это преобразование определено в кольце 0<ia<^p^b (Ь — а > 1), но не обязательно отображает его в себя. В отображении (2.1) у — постоянный положительный параметр, не превосходящий единицы. Пусть отображение (2.1) обладает свойствами:
1) любая замкнутая кривая р = / (0) =. / (0 4- 2л), близкая к окружности (т. е. f (0) мала), пересекается со своим образом;
2) для некоторой постоянной с0 ]> 1
0 с-1 rfa(P) с с •
и ''Со ^ dp ^ со>
3) функции F и G, имеющие непрерывные производные до порядка I (I = 333) включительно, удовлетворяют для некоторого положительного б = б (е, с0) (б —> 0 при е —> 0) неравенствам
I F Id + I ? |о 5, | а| і 4- | F |г 4-1 G |г < с0, где норма | F Ік определяется равенством
дт1+тгр 0)
IF = sup
т14- гп2 ^ к
dpm'dQm‘
(переменные р, 0 изменяются в области определения F (р, 0)).
58
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[ГЛ. 3
В теореме Мозера утверждается, что при выполнении условий
1) — 3) для каждого со такого, что
<х(а)]+ є<у<а(Ь) — е,
I П(?> — 2лщ | > уъгг'!' (тп, п — целые числа, Пф 0), существует инвариантная при отображении (2.1 ) кривая с (со), которая в параметрической форме имеет вид
0=0* + р(в'), р = ро + Я (0/)»
гДе I Р її + | Я її < е- Преобразование, индуцированное на инвариантной кривой, задается равенством 0/ =0' +Y®(po)» гДе Vа (р о) = Функции F, G, р, q имеют период 2л по угловым переменным.
